Номер 15, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В равнобедренной трапеции один из углов равен $60^\circ$, боковая сторона равна 24 см, сумма оснований равна 43 см. Найдите основания:

A. 9,5 см; 33,5 см.

B. 19 см; 24 см.

C. 12 см; 31 см.

D. 21,5 см; 21,5 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, трапеция равнобедренная, следовательно, боковые стороны равны $AB = CD = 24$ см, и углы при основаниях равны. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Так как один из углов равен $60^{\circ}$, то это острый угол при большем основании, поскольку если бы тупой угол был равен $60^{\circ}$, то острый был бы $120^{\circ}$, что невозможно. Таким образом, углы при большем основании равны $60^{\circ}$, то есть $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Фигура $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $BC = HK$. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и острому углу ($AB=CD$, $\angle A = \angle D$), поэтому их соответствующие катеты равны: $AH = KD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB=24$ см и острый угол $\angle A = 60^{\circ}$. Мы можем найти длину катета $AH$ с помощью косинуса угла $A$:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 24 \cdot \cos(60^{\circ})$.
Значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.
$AH = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.
Так как $AH=KD$, то $KD = 12$ см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD$.
Заменяя $HK$ на равное ему $BC$ и подставляя найденные значения $AH$ и $KD$, получаем:
$AD = 12 + BC + 12 = BC + 24$.
Это соотношение между основаниями.

Также, по условию задачи, сумма оснований равна 43 см:
$AD + BC = 43$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными $AD$ и $BC$:
1) $AD = BC + 24$
2) $AD + BC = 43$
Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе:
$(BC + 24) + BC = 43$
$2 \cdot BC + 24 = 43$
$2 \cdot BC = 43 - 24$
$2 \cdot BC = 19$
$BC = 9,5$ см.

Зная меньшее основание $BC$, находим большее основание $AD$ из любого уравнения, например, из второго:
$AD = 43 - BC = 43 - 9,5 = 33,5$ см.

Итак, длины оснований трапеции равны 9,5 см и 33,5 см, что соответствует варианту A.

Ответ: 9,5 см; 33,5 см.