Номер 18, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Из двух противолежащих вершин параллелограмма проведены биссектрисы его углов до пересечения с противоположными сторонами. Определите вид получившегося четырехугольника:
А. Параллелограмм. В. Прямоугольник.
С. Ромб. D. Квадрат.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $A$, которая пересекает сторону $CD$ в точке $E$. Также проведем биссектрису угла $C$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $F$. В результате образуется четырехугольник $AFCE$. Определим его вид.

1. Рассмотрим треугольник $ADE$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AE$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, $\angle BAE = \angle AED$. По условию, $AE$ является биссектрисой угла $A$, поэтому $\angle DAE = \angle BAE$. Из двух равенств следует, что $\angle DAE = \angle AED$. Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ADE$ — равнобедренный, и его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $DE = AD$.

2. Рассмотрим треугольник $BCF$.

Аналогично, $AB \parallel CD$, а прямая $CF$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle BFC = \angle FCD$. По условию, $CF$ является биссектрисой угла $C$, поэтому $\angle BCF = \angle FCD$. Из двух равенств следует, что $\angle BFC = \angle BCF$. Следовательно, треугольник $BCF$ также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BF = BC$.

3. Определим вид четырехугольника $AFCE$.

Стороны $AF$ и $EC$ четырехугольника $AFCE$ лежат на противоположных сторонах параллелограмма $ABCD$, то есть на прямых $AB$ и $CD$. Так как $AB \parallel CD$, то и отрезки $AF$ и $EC$ параллельны ($AF \parallel EC$).

Теперь найдем длины этих сторон. Длина отрезка $AF$ равна разности длин $AB$ и $BF$: $AF = AB - BF$. Из пункта 2 мы знаем, что $BF = BC$, поэтому $AF = AB - BC$.

Длина отрезка $EC$ равна разности длин $DC$ и $DE$: $EC = DC - DE$. Из пункта 1 мы знаем, что $DE = AD$, поэтому $EC = DC - AD$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны: $AB = DC$ и $BC = AD$. Сравнивая выражения для $AF$ и $EC$, получаем: $AF = AB - BC$ $EC = DC - AD = AB - BC$ Следовательно, $AF = EC$.

Мы установили, что в четырехугольнике $AFCE$ противоположные стороны $AF$ и $EC$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $AFCE$ является параллелограммом.

В общем случае этот параллелограмм не является прямоугольником или ромбом, так как для этого требуются дополнительные условия на углы или стороны исходного параллелограмма.

Ответ: А. Параллелограмм.