Номер 12, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что они имеют один общий угол, а противолежащая ему вершина принадлежит гипотенузе данного треугольника. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен 12 см:

А. 12 см.

В. 16 см.

С. 24 см.

D. 48 см.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию, катеты треугольника равны $AC = BC = 12$ см. В треугольник вписан квадрат $CDFE$ таким образом, что его прямой угол совпадает с прямым углом треугольника (вершина $C$), две его вершины $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а четвертая вершина $E$ лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = EF = x$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным, его углы при гипотенузе равны по $45^\circ$, то есть $\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который образуется в верхней части исходного треугольника. Так как $CDFE$ — это квадрат, его сторона $DE$ перпендикулярна стороне $CD$. Сторона квадрата $CD$ лежит на катете $AC$ треугольника. Следовательно, сторона $DE$ перпендикулярна катету $AC$. Это означает, что угол $\angle ADE$ прямой, т.е. $\angle ADE = 90^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $ADE$: $\angle DAE = \angle CAB = 45^\circ$ и $\angle ADE = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AED$ можно найти так: $\angle AED = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны ($\angle DAE = \angle AED = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой: $AD = DE$.

Мы знаем, что $DE$ — это сторона квадрата, поэтому $DE = x$. Следовательно, $AD = x$.

Катет $AC$ исходного треугольника состоит из двух отрезков: $AD$ и $DC$. Таким образом, $AC = AD + DC$.

Подставим известные значения в это равенство: $AC = 12$ см, $AD = x$ и $DC = x$ (так как $DC$ — сторона квадрата).

Получаем уравнение: $12 = x + x$.

$12 = 2x$

Отсюда находим сторону квадрата: $x = \frac{12}{2} = 6$ см.

Задача требует найти периметр квадрата. Периметр $P$ квадрата со стороной $x$ вычисляется по формуле $P = 4x$.

$P = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.