Номер 7, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В прямоугольнике один из углов между диагоналями равен $120^{\circ}$. Найдите отношение между его меньшей стороной и диагональю и углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника:

A. $1 : 2$; $60^{\circ}$, $120^{\circ}$.

B. $2 : 3$; $30^{\circ}$, $60^{\circ}$.

C. $1 : 3$; $30^{\circ}$, $30^{\circ}$.

D. $1 : 2$; $30^{\circ}$, $60^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что треугольники, образованные при пересечении диагоналей, являются равнобедренными.

По условию, один из углов между диагоналями равен $120°$. Диагонали образуют две пары вертикальных углов: одну пару тупых углов и одну пару острых. Пусть тупой угол $\angle AOD = 120°$. Смежный с ним угол будет острым: $\angle AOB = 180° - 120° = 60°$.

Найдем углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ (так как $AO = BO$). Угол при вершине $\angle AOB = 60°$. Углы при основании равны и вычисляются как $(180° - 60°) / 2 = 60°$. Таким образом, $\angle OAB = \angle OBA = 60°$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOD$ (так как $AO = DO$). Угол при вершине $\angle AOD = 120°$. Углы при основании равны и вычисляются как $(180° - 120°) / 2 = 30°$. Таким образом, $\angle OAD = \angle ODA = 30°$.

Следовательно, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $30°$ и $60°$.

Найдем отношение между его меньшей стороной и диагональю.

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В нашем случае тупой угол между диагоналями ($\angle AOD = 120°$) лежит напротив большей стороны прямоугольника ($AD$), а острый угол ($\angle AOB = 60°$) — напротив меньшей стороны ($AB$). Значит, $AB$ — меньшая сторона.

Пусть длина диагонали равна $d$, то есть $BD = d$. Так как диагонали делятся пополам, то $AO = BO = d/2$.

Ранее мы установили, что треугольник $\triangle AOB$ имеет все углы по $60°$, а значит, он равносторонний. Отсюда следует, что его стороны равны: $AB = AO = BO = d/2$.

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна половине длины диагонали.

Найдем искомое отношение: $\frac{\text{меньшая сторона}}{\text{диагональ}} = \frac{AB}{BD} = \frac{d/2}{d} = \frac{1}{2}$.

Это отношение можно записать как $1:2$.

Сопоставляя полученные результаты (отношение $1:2$ и углы $30°$, $60°$) с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под буквой D.

Ответ: D. 1:2; 30°, 60°.