Номер 2, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите сумму внешних углов четырехугольника (по одному при каждой вершине):

A. $90^\circ$.

B. $180^\circ$.

C. $270^\circ$.

D. $360^\circ$.

2. Чтобы найти сумму внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, можно использовать два основных свойства многоугольников: формулу суммы внутренних углов и соотношение между внутренним и внешним углом при одной вершине.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $S_{внутр.} = (n-2) \times 180^\circ$. Для четырехугольника число сторон $n=4$. Следовательно, сумма его внутренних углов равна:
$S_{внутр.} = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом. Это означает, что их сумма равна $180^\circ$. Пусть внутренние углы четырехугольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, а соответствующие им внешние углы — $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$. Тогда для каждой вершины справедливо:
$\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ$
$\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ$
$\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ$
$\alpha_4 + \beta_4 = 180^\circ$

Если сложить эти четыре равенства, мы получим сумму всех внутренних и всех внешних углов:
$(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) + (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4) = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Мы уже знаем, что сумма внутренних углов $(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)$ равна $360^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$360^\circ + (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4) = 720^\circ$.

Теперь найдем искомую сумму внешних углов:
$\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.

Таким образом, сумма внешних углов четырехугольника равна $360^\circ$. Стоит отметить, что сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$.

Сравнивая результат с вариантами, заключаем, что верный ответ — D.
Ответ: D. 360°.