Номер 10, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

Чтобы определить, к какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности, необходимо найти формулу для расстояния от центра до каждой из сторон и сравнить их.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Центр описанной окружности, обозначим его $O$, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу описанной окружности $R$.

Рассмотрим расстояние от центра $O$ до стороны $a$. Пусть концы этой стороны — вершины $B$ и $C$. Тогда треугольник $BOC$ является равнобедренным, так как боковые стороны $OB$ и $OC$ равны радиусу $R$. Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ — это длина высоты $OM$, опущенной из вершины $O$ на сторону $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина стороны $BC$, и длина отрезка $BM$ равна $\frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$. По теореме Пифагора:$OM^2 + BM^2 = OB^2$

Пусть $d_a$ — это искомое расстояние от центра $O$ до стороны $a$ (то есть длина $OM$). Подставив известные значения в формулу, получаем:$d_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = R^2$

Выразим отсюда $d_a$:$d_a = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Аналогичные формулы можно записать для расстояний до двух других сторон, $b$ и $c$:$d_b = \sqrt{R^2 - \frac{b^2}{4}}$$d_c = \sqrt{R^2 - \frac{c^2}{4}}$

Теперь необходимо сравнить эти три расстояния. Радиус $R$ для данного треугольника является постоянной величиной. Из формул видно, что расстояние до стороны зависит от ее длины. Чем больше длина стороны (например, $a$), тем большее значение ($a^2/4$) вычитается из $R^2$ под корнем. Следовательно, чем больше сторона, тем меньше будет результат, а значит, и расстояние до нее.

Таким образом, центр описанной окружности расположен ближе всего к самой длинной стороне треугольника.

Вывод

Чтобы найти, к какой стороне центр описанной окружности находится ближе, нужно сравнить длины сторон треугольника. Расстояние будет наименьшим до той стороны, которая имеет наибольшую длину.

Ответ: Центр описанной окружности ближе всего расположен к наибольшей стороне треугольника.