Номер 8, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Постройте точку пересечения высот треугольника $ABC$ или их продолжений (рис. 12.7).

а)

б)

Рис. 12.7

а)

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром. Для его нахождения достаточно построить две высоты и найти их точку пересечения.

1. Построим высоту $h_C$, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$. Так как сторона $AB$ горизонтальна (лежит на линии сетки), высота $h_C$ будет перпендикулярна ей и будет являться вертикальным отрезком, проведенным из точки $C$ до пересечения со стороной $AB$.

2. Построим высоту $h_A$, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Сначала определим угловой коэффициент прямой, содержащей сторону $BC$. Двигаясь по сетке от точки $B$ к точке $C$, мы смещаемся на 1 клетку влево и на 4 клетки вверх. Таким образом, угловой коэффициент прямой $BC$ равен $k_{BC} = \frac{4}{-1} = -4$.

3. Высота $h_A$ перпендикулярна стороне $BC$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{h_A}$ является величиной, обратной и противоположной по знаку к $k_{BC}$: $k_{h_A} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$. Чтобы провести прямую с таким коэффициентом из точки $A$, нужно отложить от нее 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и соединить полученную точку с точкой $A$.

4. Точка пересечения высот $h_C$ и $h_A$ является ортоцентром треугольника. Так как треугольник остроугольный, ортоцентр находится внутри него.

Ответ: Для нахождения точки пересечения высот необходимо: 1. Провести вертикальный отрезок из точки $C$ до пересечения со стороной $AB$. 2. Провести из точки $A$ прямую так, чтобы она проходила через узел сетки, находящийся на 4 клетки правее и 1 клетку выше. Точка пересечения этих двух линий и есть искомый ортоцентр.

б)

1. В данном случае треугольник является тупоугольным (угол при вершине $B$ тупой), поэтому ортоцентр будет лежать вне треугольника, на пересечении прямых, содержащих высоты (продолжений высот).

2. Построим прямую, содержащую высоту $h_C$, опущенную из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Так как сторона $AB$ горизонтальна, прямая, содержащая высоту $h_C$, будет вертикальной прямой, проходящей через точку $C$.

3. Построим прямую, содержащую высоту $h_A$, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Сначала определим угловой коэффициент прямой $BC$. Двигаясь от точки $B$ к точке $C$, мы смещаемся на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх. Угловой коэффициент равен $k_{BC} = \frac{3}{1} = 3$.

4. Прямая, содержащая высоту $h_A$, перпендикулярна прямой $BC$, и ее угловой коэффициент $k_{h_A}$ равен $k_{h_A} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{3}$. Чтобы провести прямую с таким коэффициентом из точки $A$, нужно отложить от нее 3 клетки вправо и 1 клетку вниз и соединить полученную точку с точкой $A$.

5. Точка пересечения построенных прямых, содержащих высоты, является ортоцентром треугольника.

Ответ: Для нахождения точки пересечения продолжений высот необходимо: 1. Провести вертикальную прямую через точку $C$. 2. Провести из точки $A$ прямую так, чтобы она проходила через узел сетки, находящийся на 3 клетки правее и 1 клетку ниже. Точка пересечения этих двух прямых и есть искомый ортоцентр.