Номер 4, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника?

Нет, точка пересечения медиан треугольника, также называемая центроидом или центром тяжести, не может находиться вне этого треугольника. Она всегда располагается строго внутри него, независимо от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Это утверждение следует из определения медианы и свойств выпуклых фигур.

1. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Например, медиана $AM_a$ соединяет вершину $A$ с точкой $M_a$, которая является серединой стороны $BC$.

2. Расположение медианы. Вершина $A$ является частью треугольника. Середина противоположной стороны $M_a$ также принадлежит треугольнику (лежит на его границе). Треугольник — это выпуклая фигура. Свойство выпуклой фигуры заключается в том, что любой отрезок, концы которого принадлежат фигуре, целиком располагается внутри этой фигуры. Следовательно, вся медиана $AM_a$ лежит внутри треугольника. Это справедливо для всех трех медиан.

3. Точка пересечения. Поскольку все три медианы полностью находятся внутри треугольника, их общая точка пересечения также обязана находиться внутри треугольника.

Более строгое доказательство можно привести с помощью векторов или координат. Если поместить начало координат в точку $O$, а вершины треугольника обозначить радиус-векторами $\vec{r}_A$, $\vec{r}_B$ и $\vec{r}_C$, то радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) $G$ будет равен:

$\vec{r}_G = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

Эта формула показывает, что центроид является центром масс вершин треугольника. Такой центр масс всегда находится внутри выпуклой оболочки точек, которой в данном случае является сам треугольник.

В отличие от центроида, другие замечательные точки, например, ортоцентр (точка пересечения высот) или центр описанной окружности, могут оказаться вне треугольника, если он тупоугольный.

Ответ: Нет, точка пересечения медиан треугольника всегда находится внутри этого треугольника.