Номер 5, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Может ли точка пересечения высот треугольника или их продолжений находиться вне этого треугольника?

Да, точка пересечения высот треугольника или их продолжений, называемая ортоцентром, может находиться вне этого треугольника. Это происходит в том случае, когда треугольник является тупоугольным.

Рассмотрим положение ортоцентра в зависимости от вида треугольника:

1. В остроугольном треугольнике, где все углы меньше $90^\circ$, все три высоты полностью лежат внутри треугольника. Следовательно, их точка пересечения (ортоцентр) также всегда находится внутри треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике, где один угол равен $90^\circ$, две высоты совпадают с его катетами, а третья высота проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла. Таким образом, ортоцентр лежит на границе треугольника (в одной из его вершин).

3. В тупоугольном треугольнике, где один из углов больше $90^\circ$, ситуация иная. Пусть в треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ — тупой. Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, будет лежать внутри треугольника. Однако высота из вершины $B$ будет опущена не на саму сторону $AC$, а на ее продолжение за вершину $A$. Аналогично, высота из вершины $C$ будет опущена на продолжение стороны $AB$. В результате две из трех высот оказываются вне треугольника, и их продолжения пересекаются с третьей высотой в одной точке, которая расположена за пределами треугольника.

Таким образом, именно для тупоугольных треугольников точка пересечения высот (ортоцентр) находится вне треугольника.

Ответ: Да, может, если треугольник тупоугольный.