Номер 11, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности, также известный как инцентр, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Чтобы определить, к какой из вершин он расположен ближе, необходимо сравнить расстояния от инцентра до каждой из вершин.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, а величины углов при этих вершинах как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Пусть $I$ — это центр вписанной окружности. Наша задача — сравнить длины отрезков $IA$, $IB$ и $IC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Поскольку инцентр $I$ лежит на пересечении биссектрис, отрезки $AI$ и $BI$ являются биссектрисами углов $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, углы в треугольнике $\triangle AIB$ при вершинах $A$ и $B$ равны:
$\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$
$\angle IBA = \frac{\beta}{2}$

Воспользуемся свойством треугольника: против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $\triangle AIB$ сторона $IB$ лежит напротив угла $\angle IAB$, а сторона $IA$ — напротив угла $\angle IBA$.

Предположим, что в исходном треугольнике угол $\alpha$ больше угла $\beta$, то есть $\alpha > \beta$. Тогда и половина этого угла будет больше: $\frac{\alpha}{2} > \frac{\beta}{2}$. Это означает, что в треугольнике $\triangle AIB$ угол $\angle IAB$ больше угла $\angle IBA$.

Согласно свойству треугольника, сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее. Значит, $IB > IA$. Это доказывает, что если угол при вершине $A$ больше угла при вершине $B$, то инцентр $I$ находится ближе к вершине $A$, чем к вершине $B$.

Обобщая этот вывод на все три вершины, мы можем заключить, что расстояние от инцентра до вершины тем меньше, чем больше угол при данной вершине. Таким образом, инцентр будет расположен на наименьшем расстоянии от вершины с самым большим углом в треугольнике.

Ответ: Центр вписанной окружности расположен ближе к вершине треугольника с наибольшим углом.