Номер 15, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Изобразите острый угол с вершиной А. На одной его стороне отметьте точки $B_1, B_2$. Опустите из них перпендикуляры $B_1C_1, B_2C_2$ на другую сторону угла. Измерьте стороны получившихся треугольников $AB_1C_1$ и $AB_2C_2$. Найдите отношения

$\frac{B_1C_1}{AB_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AB_2}$; $\frac{AC_1}{AB_1}$ и $\frac{AC_2}{AB_2}$; $\frac{B_1C_1}{AC_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AC_2}$.

Что можно сказать об этих отношениях?

Для решения задачи выполним следующие построения. Изобразим острый угол с вершиной в точке $A$. На одной его стороне выберем две произвольные точки $B_1$ и $B_2$. Из этих точек опустим перпендикуляры $B_1C_1$ и $B_2C_2$ на другую сторону угла.

В результате мы получили два прямоугольных треугольника: $\triangle AB_1C_1$ (с прямым углом $\angle C_1$) и $\triangle AB_2C_2$ (с прямым углом $\angle C_2$). Эти треугольники имеют общий острый угол $\angle A$.

Поскольку треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$ имеют по два равных угла (общий угол $\angle A$ и прямые углы $\angle AC_1B_1 = \angle AC_2B_2 = 90^\circ$), они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $

Теперь найдем и сравним заданные отношения, используя свойство пропорции.

$\frac{B_1C_1}{AB_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AB_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $. По свойству пропорции (поменяв местами средние члены), получаем $ \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{B_2C_2}{AB_2} $. Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, которое называется синусом угла $A$ и обозначается как $ \sin A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны синусу угла $A$.

$\frac{AC_1}{AB_1}$ и $\frac{AC_2}{AB_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} $. Поменяв местами средние члены, получаем $ \frac{AC_1}{AB_1} = \frac{AC_2}{AB_2} $. Это отношение прилежащего катета к гипотенузе, которое называется косинусом угла $A$ и обозначается как $ \cos A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны косинусу угла $A$.

$\frac{B_1C_1}{AC_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AC_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AC_1}{AC_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $. Поменяв местами средние члены, получаем $ \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{B_2C_2}{AC_2} $. Это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, которое называется тангенсом угла $A$ и обозначается как $ \text{tg} A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны тангенсу угла $A$.

Что можно сказать об этих отношениях?
Можно сделать вывод, что все три пары отношений состоят из равных между собой величин. Значение каждого такого отношения ($ \frac{B_1C_1}{AB_1} $, $ \frac{AC_1}{AB_1} $, $ \frac{B_1C_1}{AC_1} $) не зависит от выбора точки на стороне угла (т.е. от размеров конкретного прямоугольного треугольника), а определяется исключительно величиной острого угла $A$. Эти отношения являются определениями основных тригонометрических функций острого угла: синуса, косинуса и тангенса.
Ответ: В каждой паре отношения равны между собой, так как они представляют собой тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) общего для обоих треугольников угла $A$ и их значение зависит только от величины этого угла.