Номер 13, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Дано:

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. $CM$ — медиана, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Это означает, что точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то есть $AM = MB$.

Доказать:

$CM = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство:

Рассмотрим один из способов доказательства, основанный на достроении треугольника до прямоугольника.

1. Достроим треугольник $\triangle ABC$ до четырехугольника $ADBC$. Для этого через вершину $A$ проведем прямую, параллельную катету $BC$, а через вершину $B$ — прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

2. Полученная фигура $ADBC$ является параллелограммом по определению, так как ее противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $BD \parallel AC$).

3. Поскольку в параллелограмме $ADBC$ есть прямой угол ($\angle ACB = 90^\circ$ по условию), то этот параллелограмм является прямоугольником.

4. Отрезки $AB$ и $CD$ — диагонали прямоугольника $ADBC$. Согласно свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

5. По условию, $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, значит, точка $M$ — середина $AB$. Так как диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, точка $M$ также является точкой пересечения диагоналей $AB$ и $CD$ и их общей серединой.

6. Из того, что $M$ — середина диагонали $CD$, следует, что $CM = \frac{1}{2} CD$.

7. Из того, что диагонали прямоугольника равны, следует, что $AB = CD$.

8. Заменяя в равенстве из пункта 6 длину $CD$ на равную ей длину $AB$, получаем: $CM = \frac{1}{2} AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано: медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.