Номер 7, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Постройте точку пересечения медиан треугольника, изображенного на рисунке 12.6.

а)

б)

Рис. 12.6

а)

Точка пересечения медиан треугольника (также называемая центроидом) — это точка, в которой пересекаются все три его медианы. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения точки пересечения достаточно построить две любые медианы.

1. Введем систему координат, приняв левый нижний узел сетки за начало координат $(0,0)$. Тогда вершины треугольника $ABC$ имеют координаты: $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 5)$.

2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим эту точку $M_C$. Так как сторона $AB$ горизонтальна, ее середина находится ровно посередине между $A$ и $B$. Координаты $M_C$ можно вычислить как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$: $M_C = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (3, 1)$.

3. Проведем медиану $CM_C$, соединив вершину $C(3, 5)$ с точкой $M_C(3, 1)$. Эта медиана является вертикальным отрезком.

4. Найдем середину стороны $BC$. Обозначим эту точку $M_A$. Ее координаты: $M_A = (\frac{5+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{6}{2}) = (4, 3)$.

5. Проведем вторую медиану $AM_A$, соединив вершину $A(1, 1)$ с точкой $M_A(4, 3)$.

6. Точка пересечения медиан $CM_C$ и $AM_A$ является искомой точкой $O$. Поскольку медиана $CM_C$ лежит на вертикальной прямой $x=3$, то и абсцисса точки $O$ равна 3. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Длина медианы $CM_C$ равна $5-1=4$. Точка $O$ делит ее так, что $CO:OM_C=2:1$. Таким образом, точка $O$ находится на расстоянии $\frac{1}{3}$ длины медианы от основания $M_C$. Координата $y$ точки $O$ равна $y_{M_C} + \frac{1}{3}|y_C-y_{M_C}| = 1 + \frac{1}{3}(5-1) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Координаты точки пересечения медиан можно также найти по формуле как среднее арифметическое координат всех вершин: $x_O = \frac{x_A+x_B+x_C}{3} = \frac{1+5+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$. $y_O = \frac{y_A+y_B+y_C}{3} = \frac{1+1+5}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: Для построения точки нужно найти середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$), а затем провести отрезки (медианы) из противоположных вершин ($C$ и $A$) к этим серединам. Точка, где эти отрезки пересекутся, и будет искомой. Ее точные координаты в принятой системе отсчета: $(3, 2\frac{1}{3})$.

б)

Для построения точки пересечения медиан во втором треугольнике используем тот же алгоритм.

1. Введем систему координат, где левый нижний узел сетки — точка $(0,0)$. Координаты вершин треугольника будут: $A(1, 3)$, $B(3, 0)$, $C(6, 5)$.

2. Найдем середину стороны $AB$, точку $M_C$: $M_C = (\frac{1+3}{2}, \frac{3+0}{2}) = (2, 1.5)$.

3. Проведем медиану $CM_C$, соединяющую вершину $C(6, 5)$ с точкой $M_C(2, 1.5)$.

4. Найдем середину стороны $BC$, точку $M_A$: $M_A = (\frac{3+6}{2}, \frac{0+5}{2}) = (4.5, 2.5)$.

5. Проведем медиану $AM_A$, соединяющую вершину $A(1, 3)$ с точкой $M_A(4.5, 2.5)$.

6. Точка пересечения $O$ медиан $CM_C$ и $AM_A$ — искомая точка. Для точного определения ее положения найдем ее координаты как среднее арифметическое координат вершин:

$x_O = \frac{x_A+x_B+x_C}{3} = \frac{1+3+6}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

$y_O = \frac{y_A+y_B+y_C}{3} = \frac{3+0+5}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: Для построения точки нужно найти середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$), а затем провести отрезки (медианы) из противоположных вершин ($C$ и $A$) к этим серединам. Точка, где эти отрезки пересекутся, и будет искомой. Ее точные координаты в принятой системе отсчета: $(3\frac{1}{3}, 2\frac{2}{3})$.