Номер 1, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника?

1. Нет, точка пересечения биссектрис треугольника не может находиться вне этого треугольника. Давайте разберемся почему.

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который делит этот угол пополам и соединяет вершину угла с точкой на противолежащей стороне. Важно, что этот отрезок, за исключением своих концов (вершины и точки на стороне), полностью лежит внутри треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем биссектрису $AL$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Все точки отрезка $AL$, кроме $A$ и $L$, находятся строго внутри треугольника.

Теперь проведем вторую биссектрису, например, $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Аналогично, все точки отрезка $BM$, кроме $B$ и $M$, находятся строго внутри треугольника.

Две биссектрисы $AL$ и $BM$ обязательно пересекутся в некоторой точке $I$. Поскольку точка $I$ принадлежит биссектрисе $AL$, она должна находиться внутри треугольника. Поскольку точка $I$ также принадлежит биссектрисе $BM$, она также должна находиться внутри треугольника. Таким образом, точка пересечения двух биссектрис всегда лежит внутри треугольника.

В геометрии доказывается, что и третья биссектриса (из вершины $C$) также пройдет через эту же точку $I$. Эта точка называется центром вписанной окружности треугольника, или инцентром.

Так как точка пересечения принадлежит всем трем биссектрисам, каждая из которых (как отрезок) находится внутри треугольника, то и сама точка пересечения не может оказаться за его пределами.

Ответ: Нет, не может. Точка пересечения биссектрис (инцентр) всегда находится внутри треугольника.