Номер 15, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Используя рисунок 11.12, докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Рис. 11.12

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CD$ — биссектриса угла $C$. Требуется доказать, что $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

Используем дополнительное построение, показанное на рисунке: проведём через точку $B$ прямую, параллельную $CD$. Пусть она пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $E$. По построению, $CD \parallel BE$.

Так как $CD \parallel BE$, то при секущей $AE$ соответственные углы равны: $\angle ACD = \angle CEB$.

Также, при секущей $BC$ накрест лежащие углы равны: $\angle BCD = \angle CBE$.

Поскольку $CD$ — биссектриса, то по определению $\angle ACD = \angle BCD$.

Из этих трех равенств следует, что $\angle CEB = \angle CBE$. Следовательно, треугольник $CBE$ — равнобедренный с основанием $BE$, и его боковые стороны равны: $BC = CE$.

Теперь применим к треугольнику $ABE$ теорему о пропорциональных отрезках (обобщённую теорему Фалеса). Так как прямая $CD$ параллельна стороне $BE$ и пересекает стороны $AB$ и $AE$, то она делит их в одинаковом отношении: $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CE}$.

Заменяя в этой пропорции $CE$ на равный ему отрезок $BC$ (из предыдущего шага), получаем искомое соотношение: $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Это выражается формулой $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.