Номер 9, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противолежащим сторонам. Докажите, что стороны получившегося треугольника в два раза больше сторон исходного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Через его вершины $A, B$ и $C$ проведем прямые, параллельные противолежащим сторонам $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Эти прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$. Обозначим точки пересечения так, чтобы вершина $A$ исходного треугольника лежала на стороне $B_1C_1$, вершина $B$ — на стороне $A_1C_1$, а вершина $C$ — на стороне $A_1B_1$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCA_1$. По построению, прямая $A_1C$ параллельна стороне $AB$, а прямая $A_1B$ параллельна стороне $AC$. Таким образом, четырехугольник $ABA_1C$ является параллелограммом (по определению, так как его противолежащие стороны попарно параллельны). Из свойств параллелограмма следует, что длины его противолежащих сторон равны: $A_1C = AB$ и $A_1B = AC$.

Рассмотрим четырехугольник $ACBC_1$. По построению, прямая $BC_1$ параллельна $AC$, а прямая $AC_1$ параллельна $BC$. Следовательно, $ACBC_1$ — это параллелограмм. Отсюда получаем, что $AC_1 = BC$ и $C_1B = AC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCB_1$. По построению, прямая $CB_1$ параллельна $AB$, а прямая $AB_1$ параллельна $BC$. Следовательно, $ABCB_1$ — это параллелограмм. Отсюда получаем, что $AB_1 = BC$ и $B_1C = AB$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$.

Сторона $A_1B_1$ состоит из отрезков $A_1C$ и $CB_1$. Так как $A_1C = AB$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $CB_1 = AB$ (из параллелограмма $ABCB_1$, где $B_1C=AB$), то длина стороны $A_1B_1$ равна $A_1B_1 = A_1C + CB_1 = AB + AB = 2 \cdot AB$.

Сторона $B_1C_1$ состоит из отрезков $B_1A$ и $AC_1$. Так как $B_1A = BC$ (из параллелограмма $ABCB_1$, где $AB_1=BC$) и $AC_1 = BC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), то длина стороны $B_1C_1$ равна $B_1C_1 = B_1A + AC_1 = BC + BC = 2 \cdot BC$.

Сторона $A_1C_1$ состоит из отрезков $A_1B$ и $BC_1$. Так как $A_1B = AC$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $BC_1 = AC$ (из параллелограмма $ACBC_1$, где $C_1B=AC$), то длина стороны $A_1C_1$ равна $A_1C_1 = A_1B + BC_1 = AC + AC = 2 \cdot AC$.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона получившегося треугольника $A_1B_1C_1$ в два раза больше соответствующей стороны исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Стороны получившегося треугольника ($A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$) равны удвоенным соответствующим сторонам исходного треугольника ($AB$, $BC$, $AC$): $A_1B_1 = 2 \cdot AB$, $B_1C_1 = 2 \cdot BC$, $A_1C_1 = 2 \cdot AC$.