Номер 10, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на:

а) 3 равные части;

б) 5 равных частей;

в) 6 равных частей.

а) 3 равные части
Для того чтобы разделить данный отрезок $AB$ на 3 равные части с помощью циркуля и линейки, применяется метод, основанный на теореме Фалеса. Построение выполняется в несколько шагов:
1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. На этом луче с помощью циркуля откладываем от точки $A$ три равных отрезка произвольной, но одинаковой длины. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1, P_2, P_3$. Таким образом, мы получаем $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
3. Соединяем точку $P_3$ (конец третьего отрезка) с точкой $B$ (другим концом исходного отрезка), получая отрезок $P_3B$.
4. Через точки $P_1$ и $P_2$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_3B$. Построение параллельной прямой — это стандартная задача, выполняемая, например, путем копирования соответствующего угла ($\angle AP_3B$) в вершины $P_1$ и $P_2$.
5. Эти параллельные прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$.
По теореме Фалеса, поскольку прямые $P_1B_1$, $P_2B_2$ и $P_3B$ параллельны и отсекают на луче $l$ равные отрезки ($AP_1=P_1P_2=P_2P_3$), они отсекают равные отрезки и на отрезке $AB$. Следовательно, $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.
Таким образом, отрезок $AB$ разделен на три равные части.
Ответ: Вышеописанное построение делит данный отрезок на 3 равные части.

б) 5 равных частей
Чтобы разделить данный отрезок $AB$ на 5 равных частей, используется тот же алгоритм, основанный на теореме Фалеса.
1. Из точки $A$ проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. С помощью циркуля откладываем на луче $l$ от точки $A$ пять равных отрезков произвольной длины. Получим точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ так, что $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$.
3. Соединяем точку $P_5$ с точкой $B$.
4. Через точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_5B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ (обозначим их $B_1, B_2, B_3, B_4$) разделят его на 5 равных частей.
Согласно теореме Фалеса, отрезки $AB_1, B_1B_2, B_2B_3, B_3B_4, B_4B$ будут равны между собой.
Таким образом, отрезок $AB$ разделен на пять равных частей.
Ответ: Вышеописанное построение делит данный отрезок на 5 равных частей.

в) 6 равных частей
Разделить отрезок на 6 равных частей можно двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Фалеса.
Этот способ аналогичен предыдущим пунктам.
1. Из конца отрезка $AB$, точки $A$, проводим произвольный луч $l$.
2. На луче $l$ от точки $A$ откладываем шесть равных отрезков произвольной длины, получая точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$.
3. Соединяем точку $P_6$ с точкой $B$.
4. Через точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_6B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ разделят его на 6 равных частей.

Способ 2: Комбинированный метод.
Так как $6 = 3 \times 2$, можно сначала разделить отрезок на 3 части, а затем каждую из них пополам.
1. Сначала делим отрезок $AB$ на 3 равные части, как описано в пункте а). Получаем точки $B_1$ и $B_2$, такие что $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.
2. Затем делим каждый из полученных отрезков ($AB_1$, $B_1B_2$ и $B_2B$) пополам. Деление отрезка пополам (построение серединного перпендикуляра) — стандартная задача на построение:
а) Для отрезка, например $AB_1$, устанавливаем раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины $AB_1$.
б) Проводим две дуги окружности с этим радиусом из центров в точках $A$ и $B_1$ так, чтобы они пересеклись с двух сторон от отрезка.
в) Прямая, проведенная через две точки пересечения этих дуг, пересечет отрезок $AB_1$ ровно в его середине.
3. Повторяем процедуру деления пополам для отрезков $B_1B_2$ и $B_2B$.
В результате отрезок $AB$ будет разделен на 6 равных частей.
Ответ: Любой из двух вышеописанных способов построения делит данный отрезок на 6 равных частей.