Номер 8, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, состоящей из трех закрашенных треугольников (рис. 11.7), если периметр исходного треугольника равен $p$.

Рис. 11.7

Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b$ и $c$. Его периметр $p$ по определению равен сумме длин его сторон: $p = a + b + c$.

Согласно условию задачи, каждая сторона треугольника разделена на три равных отрезка. Точки деления соединены отрезками. Как видно из рисунка, эти отрезки параллельны сторонам исходного треугольника. Такое построение разделяет исходный большой треугольник на 9 малых треугольников, которые конгруэнтны (равны) между собой.

Каждый из этих малых треугольников подобен исходному. Поскольку каждая сторона исходного треугольника состоит из трех сторон малых треугольников, коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{3}$.

Это означает, что стороны каждого малого треугольника в 3 раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника, то есть их длины равны $\frac{a}{3}, \frac{b}{3}$ и $\frac{c}{3}$.

Периметр одного малого треугольника $P_{малый}$ равен:

$P_{малый} = \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{a+b+c}{3} = \frac{p}{3}$

Фигура, периметр которой необходимо найти, состоит из трех закрашенных малых треугольников. Эти треугольники на рисунке не имеют общих сторон (они соприкасаются только вершинами), поэтому периметр всей фигуры равен сумме периметров трех составляющих ее треугольников.

Таким образом, искомый периметр $P_{фигуры}$ равен:

$P_{фигуры} = 3 \times P_{малый} = 3 \times \frac{p}{3} = p$

Ответ: $p$.