Номер 1, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и B, D соответственно (рис. 11.5). Найдите $OC$, если $OB = BD = 5$ и $OA = 4$.

1. Данную задачу можно решить, используя теорему о пропорциональных отрезках (обобщенную теорему Фалеса) или через подобие треугольников.

Способ 1: Использование подобия треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$.

Поскольку по условию прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle O$ — общий для обоих треугольников.

2. $\angle OAB = \angle OCD$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$

По условию задачи нам даны следующие длины: $OA = 4$, $OB = 5$ и $BD = 5$.

Найдем длину отрезка $OD$. Он состоит из двух отрезков $OB$ и $BD$:

$OD = OB + BD = 5 + 5 = 10$

Теперь подставим все известные значения в пропорцию и найдем $OC$:

$\frac{4}{OC} = \frac{5}{10}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{4}{OC} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения выражаем $OC$:

$OC = 4 \cdot 2 = 8$

Способ 2: Использование теоремы о пропорциональных отрезках

Теорема о пропорциональных отрезках гласит, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Для данной конфигурации это можно записать как:

$\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$

Подставим известные значения: $OA = 4$, $OB = 5$ и $BD = 5$.

$\frac{4}{AC} = \frac{5}{5}$

$\frac{4}{AC} = 1$

Отсюда находим, что $AC = 4$.

Искомый отрезок $OC$ равен сумме длин отрезков $OA$ и $AC$:

$OC = OA + AC = 4 + 4 = 8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 8.