Номер 20, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Три дома $A, B, C$ расположены вдоль одной прямой на разных расстояниях от прямолинейной дороги, причем $AB = BC$ (рис. 10.9). На каком расстоянии от дороги находится средний дом, если два крайних дома удалены от нее соответственно на 72 м и 54 м?

Рис. 10.9

Для решения этой задачи представим ситуацию в виде геометрической модели. Пусть прямая дорога будет одной прямой линией, а линия, вдоль которой расположены дома A, B, и C — другой прямой. Расстояние от дома до дороги — это длина перпендикуляра от точки, обозначающей дом, до прямой, обозначающей дорогу.

Опустим перпендикуляры из точек A, B и C на прямую дороги. Обозначим основания этих перпендикуляров как A', B' и C'. Тогда длины отрезков AA', BB' и CC' — это искомые расстояния. По условию, нам даны расстояния для крайних домов A и C. Пусть $AA' = 72$ м и $CC' = 54$ м.

Поскольку все три перпендикуляра (AA', BB', CC') перпендикулярны одной и той же прямой (дороге), они параллельны друг другу. Фигура, образованная точками A, C, C', A', является трапецией, где AA' и CC' — это параллельные основания, а AC и A'C' — боковые стороны.

В условии сказано, что $AB = BC$. Это означает, что точка B является серединой отрезка AC, который является одной из боковых сторон трапеции ACC'A'. Отрезок BB', который представляет расстояние от среднего дома до дороги, параллелен основаниям трапеции и соединяет середину боковой стороны AC с другой боковой стороной A'C'. Следовательно, BB' является средней линией трапеции ACC'A'.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, мы можем найти расстояние от дома B до дороги:

$BB' = \frac{AA' + CC'}{2}$

Подставим известные значения:

$BB' = \frac{72 + 54}{2} = \frac{126}{2} = 63$ м.

Ответ: 63 м.