Номер 18, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения диагоналей?

Да, это возможно в том случае, если трапеция является параллелограммом.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Средняя линия $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$.

1. Свойство средней линии. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и находится на равном расстоянии от каждого из них. Если высота трапеции равна $H$, то расстояние от средней линии до каждого из оснований равно $H/2$.

2. Свойство точки пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по двум углам, так как:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Пусть $h_1$ — высота треугольника $\triangle COB$, проведенная из вершины $O$ к основанию $BC$, а $h_2$ — высота треугольника $\triangle AOD$, проведенная из вершины $O$ к основанию $AD$. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению их оснований (коэффициенту подобия):

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{BC}{AD}$

3. Условие, при котором точка $O$ лежит на средней линии. Чтобы точка пересечения диагоналей $O$ лежала на средней линии $MN$, она должна быть равноудалена от оснований $AD$ и $BC$. Это означает, что должно выполняться равенство $h_1 = h_2$.

4. Вывод. Если $h_1 = h_2$, то из соотношения $\frac{h_1}{h_2} = \frac{BC}{AD}$ следует, что $\frac{BC}{AD} = 1$, то есть $BC = AD$.

Трапеция, у которой основания равны, является параллелограммом. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, и точка их пересечения действительно лежит на средней линии.

Таким образом, средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей тогда и только тогда, когда эта трапеция является параллелограммом. Поскольку вопрос "Может ли...", который предполагает существование хотя бы одного такого случая, а параллелограмм является частным случаем трапеции, то ответ — да.

Ответ: Да, может, если трапеция является параллелограммом.