Номер 11, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Средняя линия трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле:$m = \frac{a + b}{2}$

По условию задачи, средняя линия равна 10 см, следовательно:$10 = \frac{a + b}{2}$$a + b = 20$Это наше первое уравнение.

Диагональ трапеции делит ее на два треугольника. В каждом из этих треугольников часть средней линии трапеции является средней линией треугольника.

Пусть диагональ делит среднюю линию на два отрезка, $m_1$ и $m_2$. Эти отрезки являются средними линиями двух треугольников, на которые диагональ разбивает трапецию. Длина каждого такого отрезка равна половине основания соответствующего треугольника (а эти основания являются основаниями трапеции).

Таким образом, $m_1 = \frac{a}{2}$ и $m_2 = \frac{b}{2}$.

По условию, разность этих отрезков равна 2 см. Предположим, что $a$ – большее основание, тогда $m_1 > m_2$.$m_1 - m_2 = 2$$\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 2$$a - b = 4$Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$\begin{cases}a + b = 20 \\a - b = 4\end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$:$(a + b) + (a - b) = 20 + 4$$2a = 24$$a = 12$ см.

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:$12 + b = 20$$b = 20 - 12$$b = 8$ см.

Проверка: средняя линия равна $\frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны $\frac{12}{2} = 6$ см и $\frac{8}{2} = 4$ см. Их разность равна $6 - 4 = 2$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 12 см.