Номер 14, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Постройте трапецию, если заданы две ее вершины $A$, $C$ и средняя линия $EF$ (рис. 10.5).

а)

б)

Рис. 10.5

Для построения трапеции воспользуемся определением ее средней линии. Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон. Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Тогда средняя линия EF соединяет середины сторон AB и CD, то есть точка E — середина AB, а точка F — середина CD.

Из того, что E — середина отрезка AB, следует, что точка B симметрична точке A относительно точки E. Аналогично, так как F — середина отрезка CD, точка D симметрична точке C относительно точки F.

Таким образом, алгоритм построения недостающих вершин B и D следующий:

1. Строим точку B, симметричную точке A относительно точки E. Это можно сделать, проведя луч AE и отложив на нем от точки E отрезок EB, равный по длине отрезку AE, так что E окажется между A и B. Векторно это выражается как $\vec{OB} = \vec{OA} + 2\vec{AE}$, где O — произвольная точка (начало координат).
2. Строим точку D, симметричную точке C относительно точки F. Это можно сделать, проведя луч CF и отложив на нем от точки F отрезок FD, равный по длине отрезку CF, так что F окажется между C и D. Векторно это выражается как $\vec{OD} = \vec{OC} + 2\vec{CF}$.
3. Соединяем вершины A, B, C, D, получая искомую трапецию.

Применим этот метод к задачам на рисунках.

а)

Введем систему координат, приняв за начало координат левый нижний угол сетки. Тогда точки имеют следующие координаты: $A(1, 1)$, $C(4, 4)$, $E(2, 3)$, $F(5, 3)$.

1. Найдем координаты точки B. Точка B симметрична A относительно E. Для нахождения ее координат можно использовать векторное правило: от точки E отложим вектор, равный вектору $\vec{AE}$.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты $(E_x - A_x, E_y - A_y) = (2-1, 3-1) = (1, 2)$.
Координаты точки B будут $(E_x + (E_x - A_x), E_y + (E_y - A_y)) = (2+1, 3+2) = (3, 5)$. Итак, $B(3, 5)$.

2. Найдем координаты точки D. Точка D симметрична C относительно F. От точки F отложим вектор, равный вектору $\vec{CF}$.
Вектор $\vec{CF}$ имеет координаты $(F_x - C_x, F_y - C_y) = (5-4, 3-4) = (1, -1)$.
Координаты точки D будут $(F_x + (F_x - C_x), F_y + (F_y - C_y)) = (5+1, 3-1) = (6, 2)$. Итак, $D(6, 2)$.

3. Соединяем точки A(1,1), B(3,5), C(4,4) и D(6,2), чтобы получить трапецию ABCD.

Ответ: Вершина B находится в точке с координатами (3, 5). Вершина D находится в точке с координатами (6, 2). Соединив точки A, B, C, D, получаем искомую трапецию.

б)

Введем систему координат аналогично предыдущему пункту. Координаты заданных точек: $A(1, 1)$, $C(2, 5)$, $E(1, 2)$, $F(3, 6)$.

1. Найдем координаты точки B, симметричной A относительно E.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты $(E_x - A_x, E_y - A_y) = (1-1, 2-1) = (0, 1)$.
Координаты точки B: $(E_x + (E_x - A_x), E_y + (E_y - A_y)) = (1+0, 2+1) = (1, 3)$. Итак, $B(1, 3)$.

2. Найдем координаты точки D, симметричной C относительно F.
Вектор $\vec{CF}$ имеет координаты $(F_x - C_x, F_y - C_y) = (3-2, 6-5) = (1, 1)$.
Координаты точки D: $(F_x + (F_x - C_x), F_y + (F_y - C_y)) = (3+1, 6+1) = (4, 7)$. Итак, $D(4, 7)$.

3. Соединяем точки A(1,1), B(1,3), C(2,5) и D(4,7). В полученной трапеции ABCD стороны AD и BC являются основаниями, так как вектор $\vec{BC} = (1, 2)$ и вектор $\vec{AD} = (3, 6)$ коллинеарны ($\vec{AD}=3\vec{BC}$).

Ответ: Вершина B находится в точке с координатами (1, 3). Вершина D находится в точке с координатами (4, 7). Соединив точки A, B, C, D, получаем искомую трапецию.