Номер 16, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Основания трапеции равны 14 и 20. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции (рис. 10.7). Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции.

Рис. 10.7

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, причем $AB = 20$ и $CD = 14$. На боковой стороне AD отмечены точки F и E так, что сторона разделена на три равные части: $DF = FE = EA$. Через точки F и E проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Эти прямые пересекают боковую сторону BC в точках G и H соответственно. Требуется найти длины отрезков FG и EH.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AD, до пересечения с основанием AB в точке K. Эта прямая пересечет отрезки FG и EH в точках P и Q соответственно.

Рассмотрим четырехугольник AKCD. Поскольку сторона AK лежит на прямой AB, а сторона CD является основанием трапеции, то $AK \parallel CD$. По построению $CK \parallel AD$. Следовательно, AKCD — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны: $AK = CD = 14$.

Теперь мы можем найти длину отрезка KB на основании AB:$KB = AB - AK = 20 - 14 = 6$.

Рассмотрим треугольник CKB. Отрезки PG и QH являются частями прямых FG и EH, которые по условию параллельны основанию AB, а значит, и его части KB. Таким образом, $PG \parallel KB$ и $QH \parallel KB$.

Поскольку по построению прямая $CK \parallel AD$, а параллельные прямые FG и EH отсекают на стороне AD равные отрезки ($DF = FE = EA$), то по теореме Фалеса они отсекают на прямой CK также равные между собой отрезки: $CP = PQ = QK$. Таким образом, сторона CK треугольника $\triangle CKB$ разделена на три равные части.

Из подобия треугольников $\triangle CPG$ и $\triangle CKB$ (по двум углам, так как $PG \parallel KB$) следует:$\frac{PG}{KB} = \frac{CP}{CK}$Поскольку $CK = CP + PQ + QK = 3CP$, получаем:$PG = KB \cdot \frac{CP}{3CP} = \frac{1}{3}KB = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Аналогично, из подобия треугольников $\triangle CQH$ и $\triangle CKB$ следует:$\frac{QH}{KB} = \frac{CQ}{CK}$Поскольку $CQ = CP + PQ = 2CP$, получаем:$QH = KB \cdot \frac{CQ}{CK} = KB \cdot \frac{2CP}{3CP} = \frac{2}{3}KB = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$.

Теперь найдем полные длины искомых отрезков FG и EH.Рассмотрим четырехугольник AKPF. Его стороны AK и FP лежат на параллельных прямых AB и FG. Стороны AF и KP лежат на параллельных прямых AD и CK. Следовательно, AKPF — параллелограмм, и $FP = AK = 14$.Длина отрезка FG равна:$FG = FP + PG = 14 + 2 = 16$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник AKQE. Его стороны AK и EQ лежат на параллельных прямых AB и EH. Стороны AE и KQ лежат на параллельных прямых AD и CK. Следовательно, AKQE — параллелограмм, и $EQ = AK = 14$.Длина отрезка EH равна:$EH = EQ + QH = 14 + 4 = 18$.

Ответ: длины отрезков, заключенных внутри трапеции, равны 16 и 18.