Номер 15, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне $AC$, равной 18. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника (рис. 10.6).

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 18$. Сторона $BC$ разделена на четыре равные части точками $M_1, M_2, M_3$, если считать от вершины $B$ к $C$. То есть, $BM_1 = M_1M_2 = M_2M_3 = M_3C$. Через эти точки проведены прямые, параллельные стороне $AC$, которые пересекают сторону $AB$ в точках $N_1, N_2, N_3$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $N_1M_1, N_2M_2, N_3M_3$.

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему о подобных треугольниках. Прямые, параллельные одной из сторон треугольника, отсекают от него треугольники, подобные исходному.

Пусть длина каждого из четырех равных отрезков на стороне $BC$ равна $x$. Тогда $BM_1 = x$, $BM_2 = 2x$, $BM_3 = 3x$ и вся сторона $BC = 4x$.

1. Нахождение длины отрезка $N_1M_1$

Рассмотрим треугольник $N_1BM_1$. Он подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_1BM_1 \sim \triangle ABC$), так как:

• $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle BN_1M_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $N_1M_1$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{N_1M_1}{AC} = \frac{BM_1}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_1 = x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_1M_1}{18} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим длину отрезка $N_1M_1$:

$N_1M_1 = 18 \cdot \frac{1}{4} = 4.5$

Ответ: 4.5

2. Нахождение длины отрезка $N_2M_2$

Рассмотрим треугольник $N_2BM_2$. Он также подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_2BM_2 \sim \triangle ABC$) по тем же причинам.

Запишем соотношение для их сторон:

$\frac{N_2M_2}{AC} = \frac{BM_2}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_2 = 2x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_2M_2}{18} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим длину отрезка $N_2M_2$:

$N_2M_2 = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

Ответ: 9

3. Нахождение длины отрезка $N_3M_3$

Рассмотрим треугольник $N_3BM_3$. Он подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_3BM_3 \sim \triangle ABC$).

Соотношение для их сторон:

$\frac{N_3M_3}{AC} = \frac{BM_3}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_3 = 3x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_3M_3}{18} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$

Отсюда находим длину отрезка $N_3M_3$:

$N_3M_3 = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5$

Ответ: 13.5

Итого, длины отрезков, начиная от ближайшего к вершине B, составляют 4.5, 9 и 13.5.