Вопросы, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Обобщением каких теорем является теорема Фалеса?

3. Как, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на $n$ равных частей?

4. Что называется отношением двух отрезков?

5. Какие отрезки называются пропорциональными?

6. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

1. Теорема Фалеса гласит: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.
Например, пусть даны стороны угла и три параллельные прямые, пересекающие их. Если точки пересечения на одной стороне $A_1, A_2, A_3$, а на другой — $B_1, B_2, B_3$, и при этом длина отрезка $A_1A_2$ равна длине отрезка $A_2A_3$, то, согласно теореме, длина отрезка $B_1B_2$ будет равна длине отрезка $B_2B_3$.
Ответ: Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

2. Теорема Фалеса является обобщением для теорем о средних линиях. Теоремы о средней линии треугольника и средней линии трапеции являются частными случаями и прямыми следствиями теоремы Фалеса.
Например, теорема о средней линии треугольника, которая утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине, легко доказывается с помощью теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках.
Ответ: Теорема Фалеса является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции.

3. Чтобы разделить отрезок $AB$ на $n$ равных частей с помощью теоремы Фалеса, нужно выполнить следующие шаги:
1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $a$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На этом луче $a$, начиная от точки $A$, отложить $n$ одинаковых по длине отрезков с помощью циркуля. Получим точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ такие, что $AC_1 = C_1C_2 = \dots = C_{n-1}C_n$.
3. Соединить последнюю точку $C_n$ с другим концом исходного отрезка — точкой $B$.
4. Через точки $C_1, C_2, \dots, C_{n-1}$ провести прямые, параллельные отрезку $C_nB$.
5. Эти параллельные прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, \dots, D_{n-1}$.
Согласно теореме Фалеса, так как на луче $a$ отрезки $AC_1, C_1C_2, \dots$ равны, то и на отрезке $AB$ соответствующие отрезки $AD_1, D_1D_2, \dots$ будут равны между собой. Таким образом, отрезок $AB$ будет разделен на $n$ равных частей.
Ответ: Нужно из конца отрезка провести луч, отложить на нем $n$ равных отрезков, соединить конец последнего отрезка с другим концом исходного отрезка, а затем провести параллельные прямые через остальные точки деления на луче.

4. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. Если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны соответственно $l_1$ и $l_2$, то их отношение записывается как $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{l_1}{l_2}$. Это значение является положительным действительным числом и не зависит от выбора единиц измерения.
Ответ: Отношение двух отрезков — это число, равное отношению их длин.

5. Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношения их длин равны. То есть, если выполняется равенство: $ \frac{|AB|}{|A_1B_1|} = \frac{|CD|}{|C_1D_1|} $
Это означает, что во сколько раз отрезок $AB$ больше (или меньше) отрезка $A_1B_1$, во столько же раз отрезок $CD$ больше (или меньше) отрезка $C_1D_1$.
Ответ: Отрезки называются пропорциональными, если равно отношение их длин.

6. Теорема о пропорциональных отрезках (также известная как обобщенная теорема Фалеса) утверждает, что параллельные прямые, пересекающие две произвольные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Если несколько параллельных прямых пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3, \dots$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3, \dots$, то отношение длин любых двух отрезков, образовавшихся на прямой $a$, равно отношению длин соответствующих им отрезков на прямой $b$. Например: $ \frac{|A_1A_2|}{|A_2A_3|} = \frac{|B_1B_2|}{|B_2B_3|} $
Ответ: Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.