Номер 17, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

Рассмотрим трапецию ABCD, в которой AD и BC являются основаниями ($AD \parallel BC$), а AC и BD — диагоналями. Пусть точка M — середина диагонали AC, а точка N — середина диагонали BD. Нам нужно доказать, что отрезок MN параллелен основаниям AD и BC, и его длина равна полуразности длин этих оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Отметим на боковой стороне AB её середину, точку K.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. Следовательно, KN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок KN параллелен стороне AD и равен её половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

Аналогичным образом, в треугольнике $ABC$ отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, KM является его средней линией. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку основания трапеции по определению параллельны ($AD \parallel BC$), а отрезки KN и KM параллельны соответствующим основаниям ($KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$), то отрезки KN и KM параллельны друг другу (оба параллельны AD). Так как они исходят из одной точки K, они должны лежать на одной прямой. Следовательно, точки K, M и N лежат на одной прямой.

Так как прямая, проходящая через точки K, M, N, параллельна основаниям AD и BC, то и отрезок MN, являющийся её частью, также параллелен основаниям трапеции. Первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем длину отрезка MN. Поскольку точки K, M, N лежат на одной прямой, длина отрезка MN равна модулю разности длин отрезков KN и KM. Для определенности будем считать, что AD — большее основание ($AD > BC$), тогда и $KN > KM$. Длина отрезка MN вычисляется как $MN = KN - KM$.

Подставим найденные ранее выражения для длин KN и KM:$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их полуразности.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований: $MN = \frac{|AD - BC|}{2}$.