Номер 13, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные $a$ и $b$. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Пусть $MN$ — ее средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По определению, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Проведем диагональ $AC$. Пусть она пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. По условию задачи, отрезки, на которые точка $K$ делит среднюю линию, равны $a$ и $b$. Допустим, $MK = a$ и $KN = b$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Так как $MN \parallel BC$, то и отрезок $MK$ также параллелен $BC$. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок, проведенный через середину одной стороны треугольника, параллелен другой его стороне, то этот отрезок является средней линией. Таким образом, $MK$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины его основания. Для треугольника $ABC$ основанием является $BC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2} BC$. Подставив известную длину отрезка $MK$, получаем: $a = \frac{1}{2} BC$, откуда находим длину одного из оснований трапеции: $BC = 2a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, точка $K$ — середина стороны $AC$. Точка $N$ — середина стороны $CD$ по определению средней линии трапеции. Значит, отрезок $KN$ соединяет середины двух сторон треугольника $ACD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ACD$ с основанием $AD$.

Длина средней линии $KN$ равна половине длины основания $AD$: $KN = \frac{1}{2} AD$. Подставив известную длину отрезка $KN$, получаем: $b = \frac{1}{2} AD$, откуда находим длину второго основания трапеции: $AD = 2b$.

Таким образом, мы нашли длины обоих оснований трапеции. Они равны $2a$ и $2b$.

Ответ: Основания трапеции равны $2a$ и $2b$.