Номер 6, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 5 см и 2 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция, назовем ее $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ и $CD$ — равные боковые стороны. Пусть $BH$ — перпендикуляр (высота), опущенный из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. По условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка длиной 5 см и 2 см.
Для решения задачи докажем и воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету), из чего следует, что отрезки $AH = KD$.
Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле:
$m = \frac{AD + BC}{2}$
Рассмотрим отрезок $HD$. Он состоит из двух частей: $HD = HK + KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$), поэтому его противолежащие стороны равны: $HK = BC$. Заменив в выражении для $HD$ отрезок $KD$ на равный ему $AH$, получаем: $HD = BC + AH$.
Теперь подставим это в формулу для средней линии. Сначала выразим $BC$ из полученного равенства: $BC = HD - AH$. Основание $AD$ равно сумме отрезков: $AD = AH + HD$.
$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{(AH + HD) + (HD - AH)}{2} = \frac{2 \cdot HD}{2} = HD$.
Таким образом, мы доказали, что длина средней линии равнобедренной трапеции равна длине большего из отрезков, на которые высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание.
Так как длины отрезков $AH$ и $BC$ положительны, то из равенства $HD = BC + AH$ следует, что $HD > AH$. Значит, $HD$ — это больший из двух отрезков, на которые высота делит основание.
По условию, длины этих отрезков равны 5 см и 2 см. Следовательно, длина большего отрезка $HD = 5$ см.
Отсюда, средняя линия трапеции $m = HD = 5$ см.

Можно также проверить результат, вычислив длины оснований. Меньший отрезок $AH = 2$ см, больший $HD = 5$ см.
Длина большего основания: $AD = AH + HD = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Длина меньшего основания: $BC = HD - AH = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Тогда средняя линия равна: $m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.
Результаты совпадают.

Ответ: 5 см.