Номер 17, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. По аналогии с определением средней линии треугольника попробуйте определить понятие средней линии трапеции. Какими свойствами она обладает?

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, проведем аналогию с понятием средней линии треугольника, как и предложено в условии.

Вспомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Основное свойство средней линии треугольника заключается в том, что она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Определение понятия средней линии трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие стороны не параллельны (они называются боковыми сторонами). По аналогии с треугольником, где средняя линия соединяет середины двух сторон, можно дать определение и для трапеции. Логично соединять середины именно боковых, непараллельных сторон.

Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Ответ: Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон этой трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Исходя из аналогии со свойствами средней линии треугольника, можно предположить, какими свойствами будет обладать средняя линия трапеции. Сформулируем их в виде теоремы и докажем.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$. Нам нужно доказать, что $MN \parallel AD \parallel BC$ и $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Для доказательства используем дополнительное построение. Проведем прямую через точки $B$ и $N$ до ее пересечения с продолжением прямой $AD$. Точку пересечения обозначим $E$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.

1. $CN = ND$, так как $N$ — середина отрезка $CD$ по определению средней линии.

2. $\angle BNC = \angle END$, так как эти углы являются вертикальными.

3. $\angle BCN = \angle EDN$, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ (прямая $AE$ содержит основание $AD$) и секущей $CD$.

Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $BC = ED$ и $BN = NE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.

В этом треугольнике точка $M$ является серединой стороны $AB$ (по условию). Точка $N$ является серединой стороны $BE$ (так как мы доказали, что $BN = NE$).

Таким образом, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.

Теперь воспользуемся свойствами средней линии треугольника:

1. Параллельность: Средняя линия $MN$ треугольника $\triangle ABE$ параллельна его основанию $AE$. Так как прямая $AE$ совпадает с прямой $AD$, то $MN \parallel AD$. А поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первое свойство доказано.

2. Длина: Длина средней линии $MN$ треугольника $\triangle ABE$ равна половине длины его основания $AE$, то есть $MN = \frac{1}{2}AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$. Мы уже доказали, что $DE = BC$. Следовательно, $AE = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для длины $MN$: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Второе свойство доказано.

Если обозначить длины оснований трапеции как $a$ и $b$, а длину средней линии как $m$, то формула ее длины будет: $m = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: Средняя линия трапеции обладает двумя основными свойствами: 1) она параллельна основаниям трапеции; 2) ее длина равна полусумме длин оснований.