Номер 14, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, а $P$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$.

Сначала докажем, что треугольники, образованные указанными точками, являются равнобедренными.

1. Рассмотрим $\triangle PAD$. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при основании равны: $\angle BAD = \angle CDA$. Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$ и $\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$, откуда $\angle ABC = \angle BCD$. Углы $\angle PAD$ и $\angle PDA$ треугольника $\triangle PAD$ совпадают с углами при основании трапеции, поэтому $\angle PAD = \angle PDA$. Следовательно, $\triangle PAD$ — равнобедренный, и $PA = PD$.

2. Так как $PA=PD$ и по условию $AB=CD$, то $PB = PA - AB$ и $PC = PD - CD$. Отсюда следует, что $PB=PC$, а значит, $\triangle PBC$ также является равнобедренным.

3. В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC=BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них сторона $AD$ общая, $AB=CD$ и $BD=AC$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Из равенства этих треугольников следует равенство углов: $\angle OAD = \angle ODA$ (так как $\angle OAD$ это $\angle CAD$, а $\angle ODA$ это $\angle BDA$). Значит, $\triangle OAD$ является равнобедренным, и $OA = OD$.

4. Из равенства диагоналей $AC=BD$ и отрезков $OA=OD$ следует, что $OC = AC - OA$ и $OB = BD - OD$. Таким образом, $OB=OC$, и $\triangle OBC$ также является равнобедренным.

Теперь докажем утверждения из задачи.

Доказательство того, что прямая делит основания пополам

Рассмотрим треугольники $\triangle APO$ и $\triangle DPO$. У них сторона $PO$ — общая, $PA=PD$ и $OA=OD$, как было доказано ранее. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle APO \cong \triangle DPO$. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle APO = \angle DPO$. Это означает, что прямая $PO$ является биссектрисой угла $\angle APD$. В равнобедренном треугольнике $\triangle PAD$ биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой. Следовательно, прямая $PO$ пересекает основание $AD$ в его середине, то есть делит $AD$ пополам.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $\triangle PBC$ прямая $PO$ (являющаяся биссектрисой угла $\angle BPC$) также является медианой к основанию $BC$. Следовательно, прямая $PO$ делит основание $BC$ пополам.

Ответ: Доказано, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжения боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Доказательство того, что прямая перпендикулярна основаниям

Как было установлено в предыдущем пункте, в равнобедренном треугольнике $\triangle PAD$ прямая $PO$ является биссектрисой угла при вершине $P$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, прямая $PO$ перпендикулярна основанию $AD$, то есть $PO \perp AD$.

Так как по определению трапеции ее основания параллельны ($BC \parallel AD$), то прямая, перпендикулярная одному из оснований, перпендикулярна и другому. Поскольку $PO \perp AD$, то и $PO \perp BC$.

Ответ: Доказано, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции.