Номер 12, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Дано:
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$.
Диагонали трапеции равны по длине: $AC = BD$.

Доказать:
Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, то есть ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Доказательство:
1. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Таким образом, по построению $CE \parallel BD$.
2. Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции, а точка $E$ лежит на прямой $AD$. Стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом.
3. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Отсюда следует, что $CE = BD$ и $BC = DE$.
4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. По условию задачи нам дано, что $AC = BD$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $CE = BD$. Следовательно, мы можем заключить, что $AC = CE$.
5. Поскольку две стороны треугольника $\triangle ACE$ равны ($AC = CE$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle CAE = \angle CEA$.
6. Так как прямые $BD$ и $CE$ параллельны, а прямая $AE$ является для них секущей, то углы $\angle BDA$ и $\angle CEA$ являются соответственными углами. Следовательно, $\angle BDA = \angle CEA$.
7. Сопоставим равенства из пунктов 5 и 6: у нас есть $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle BDA = \angle CEA$. Отсюда следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Заметим, что угол $\angle CAE$ — это тот же самый угол, что и $\angle CAD$ в исходной трапеции. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BDA$.
8. Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$.
В этих треугольниках:
- $AC = BD$ (по условию задачи).
- $AD$ — общая сторона.
- $\angle CAD = \angle BDA$ (как доказано в пункте 7).
Следовательно, $\triangle ACD = \triangle DBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $CD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует стороне $AB$ треугольника $\triangle DBA$. Значит, $CD = AB$.
10. Мы доказали, что боковые стороны трапеции равны. По определению, такая трапеция является равнобедренной.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.