Номер 11, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями ($AD \parallel BC$), и углы при основании $AD$ равны.

Дано:
$ABCD$ — трапеция,
$AD \parallel BC$,
$\angle A = \angle D$.

Доказать:
Трапеция $ABCD$ — равнобедренная (то есть, $AB = CD$).

Доказательство:

1. Проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$.

2. Так как по определению трапеции ее основания параллельны ($AD \parallel BC$), то проведенные высоты $BH$ и $CK$ равны друг другу как расстояния между двумя параллельными прямыми. Таким образом, $BH = CK$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые у нас образовались: $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они являются прямоугольными, так как $BH$ и $CK$ — высоты, и, следовательно, $\angle BHA = \angle CKD = 90^\circ$.

4. Сравним эти два треугольника. В них:
• Катет $BH$ равен катету $CK$ (из пункта 2).
• Острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle D$ (по условию задачи).

5. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

6. Из равенства треугольников следует и равенство всех их соответствующих сторон. В нашем случае, гипотенуза треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе треугольника $\triangle DCK$. То есть, $AB = CD$.

7. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ равны. По определению, трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы при основании трапеции равны, то её боковые стороны равны, а значит, такая трапеция является равнобедренной.