Номер 10, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см (рис. 9.7), отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Рис. 9.7

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $CD$ и $AB$ — основания. Согласно условию, $CD$ — меньшее основание, и его длина равна $CD = 3$ см.

Через вершину $D$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $BC$. Эта прямая пересекает большее основание $AB$ в точке $E$. Таким образом, по построению $DE \parallel BC$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCDE$. В этом четырехугольнике:

1. Сторона $DE$ параллельна стороне $BC$ ($DE \parallel BC$) по построению.

2. Сторона $CD$ параллельна стороне $EB$ ($CD \parallel EB$), так как $CD$ и $AB$ являются основаниями трапеции, а точка $E$ лежит на $AB$.

Поскольку у четырехугольника $BCDE$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Следовательно:

$BC = DE$

$CD = EB$

Так как нам дано, что $CD = 3$ см, то и $EB = 3$ см.

Проведенная прямая $DE$ отсекает от трапеции треугольник $\triangle ADE$. По условию задачи, периметр этого треугольника равен 15 см.

Периметр треугольника $\triangle ADE$ вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{\triangle ADE} = AD + DE + AE = 15$ см.

Теперь найдем периметр трапеции $ABCD$. Периметр трапеции — это сумма длин всех ее четырех сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Длину большего основания $AB$ можно выразить как сумму длин отрезков $AE$ и $EB$:

$AB = AE + EB$.

Подставим это выражение в формулу для периметра трапеции:

$P_{ABCD} = (AE + EB) + BC + CD + AD$.

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся тем, что $BC = DE$:

$P_{ABCD} = (AE + AD + DE) + EB + CD$.

Выражение в скобках $(AE + AD + DE)$ представляет собой периметр треугольника $\triangle ADE$, который, как нам известно, равен 15 см. Длины отрезков $EB$ и $CD$ нам также известны: $EB = 3$ см и $CD = 3$ см.

Подставим все известные значения в формулу:

$P_{ABCD} = P_{\triangle ADE} + EB + CD = 15 + 3 + 3 = 21$ см.

Ответ: 21 см.