Номер 13, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите:

1) сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований;

2) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований;

3) разность оснований больше разности боковых сторон;

4) диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам.

1) сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Обозначим длины сторон: $AB = c$, $CD = d$, $BC = a$, $AD = b$. Требуется доказать, что $c + d > b - a$.
Проведем из вершины $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как $BC$ параллельна $AE$ (как части оснований трапеции) и $CE$ параллельна $AB$ (по построению).
Следовательно, в силу свойств параллелограмма, $CE = AB = c$ и $AE = BC = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle CED$. Его стороны равны $CE = c$, $CD = d$ и $ED = AD - AE = b - a$.
Согласно неравенству треугольника, сумма двух его сторон всегда больше третьей стороны: $CE + CD > ED$.
Подставив значения длин, получаем: $c + d > b - a$.
Утверждение доказано.
Ответ: Сумма боковых сторон трапеции всегда больше разности ее оснований, что следует из неравенства треугольника, примененного к треугольнику, образованному одной из боковых сторон, отрезком, параллельным другой боковой стороне, и частью большего основания, равной разности оснований.

2) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=b$ и $BC=a$, и диагоналями $AC=d_1$ и $BD=d_2$. Требуется доказать, что $d_1 + d_2 > a + b$.
Проведем из вершины $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $F$.
Четырехугольник $BCFD$ — параллелограмм, так как $BC$ параллельна $DF$ (как части параллельных прямых) и $CF$ параллельна $BD$ (по построению).
Следовательно, $CF = BD = d_2$ и $DF = BC = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACF$. Его стороны: $AC=d_1$, $CF=d_2$ и $AF = AD + DF = b + a$.
По неравенству треугольника, сумма двух сторон больше третьей: $AC + CF > AF$.
Подставив значения, получаем: $d_1 + d_2 > b + a$.
Утверждение доказано.
Ответ: Сумма диагоналей трапеции всегда больше суммы ее оснований, что доказывается с помощью построения вспомогательного треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме ее оснований.

3) разность оснований больше разности боковых сторон;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=b$ и $BC=a$ (где $b > a$) и боковыми сторонами $AB=c$ и $CD=d$. Требуется доказать, что $b - a > |c - d|$.
Используем то же построение, что и в пункте 1: проведем из вершины $C$ прямую, параллельную стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Мы получили треугольник $\triangle CED$ со сторонами $CE=c$, $CD=d$ и $ED = AD - AE = b - a$.
Согласно одному из следствий неравенства треугольника, любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон: $ED > |CE - CD|$.
Подставив значения длин сторон, получаем: $b - a > |c - d|$.
Утверждение доказано.
Ответ: Разность оснований трапеции больше модуля разности ее боковых сторон, что также является следствием из неравенства треугольника.

4) диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам.
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и пусть ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
По определению трапеции, ее основания параллельны, но не равны, то есть $AD \parallel BC$ и $AD \neq BC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.
Углы $\angle OAD$ и $\angle OCB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
Аналогично, углы $\angle ODA$ и $\angle OBC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.
Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам (признак подобия АА).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} $
Допустим от противного, что диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означало бы, что $AO = CO$ и $BO = DO$.
Если $AO = CO$, то коэффициент подобия $\frac{AO}{CO} = 1$.
Тогда из пропорции следует, что и $\frac{AD}{BC} = 1$, что означает $AD = BC$.
Это противоречит определению трапеции, у которой основания не равны. Если бы основания были равны, то четырехугольник был бы параллелограммом, а не трапецией (в общепринятом смысле).
Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: Диагонали трапеции (не являющейся параллелограммом) не могут делиться пополам в точке пересечения, так как это привело бы к равенству оснований, что противоречит определению трапеции.