Номер 15, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Постройте прямоугольную трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а меньшая боковая сторона равна 2 см.

Для решения этой задачи сначала необходимо проанализировать свойства прямоугольной трапеции. Прямоугольная трапеция — это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями), у которого одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта перпендикулярная сторона является высотой трапеции, обозначим ее $h$. Другая боковая сторона является наклонной. Если мы опустим высоту из вершины у меньшего основания на большее основание, то получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой будет наклонная боковая сторона, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный разности длин оснований ($b_1 - b_2$). Согласно теореме Пифагора, квадрат наклонной стороны равен $h^2 + (b_1 - b_2)^2$. Поскольку основания имеют разную длину, $(b_1 - b_2)^2 > 0$, из чего следует, что наклонная сторона всегда длиннее высоты $h$. Таким образом, меньшая боковая сторона в прямоугольной трапеции — это её высота. По условию, основания равны 5 см и 3 см, а меньшая боковая сторона — 2 см. Следовательно, высота трапеции, которую нужно построить, равна 2 см.

Построение выполняется с помощью линейки и угольника (или транспортира) в несколько шагов:

1. С помощью линейки построим отрезок $AB$ длиной 5 см. Это будет большее основание трапеции.

2. В точке $A$ к отрезку $AB$ построим перпендикуляр. Для этого можно использовать угольник, приложив его к отрезку $AB$ так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой $A$, и проведя луч из точки $A$ вдоль второй стороны угольника.

3. На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$ длиной 2 см. Это будет высота и одновременно меньшая боковая сторона трапеции.

4. Через точку $D$ проведём прямую, параллельную основанию $AB$. Проще всего это сделать, построив перпендикуляр к отрезку $AD$ в точке $D$. Так как две прямые (новая прямая и $AB$) перпендикулярны третьей прямой ($AD$), они будут параллельны между собой.

5. На построенной параллельной прямой отложим от точки $D$ отрезок $DC$ длиной 3 см. Точка $C$ должна находиться по ту же сторону от прямой $AD$, что и точка $B$. Отрезок $DC$ — это меньшее основание трапеции.

6. Соединим отрезком точки $C$ и $B$. Это будет вторая, наклонная и большая боковая сторона трапеции.

В итоге мы получим четырёхугольник $ABCD$, который и является искомой прямоугольной трапецией, так как $AB \parallel DC$ по построению, боковая сторона $AD \perp AB$ (и, следовательно, $AD \perp DC$), и длины сторон соответствуют условию: $AB = 5$ см, $DC = 3$ см, $AD = 2$ см.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 3 см и меньшей боковой стороной (высотой) 2 см.