Вопросы, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется средней линией трапеции?

2. Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.

1. Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины её боковых сторон. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями), а две другие — не параллельны (они называются боковыми сторонами). Если в трапеции $ABCD$ основаниями являются $BC$ и $AD$, а боковыми сторонами — $AB$ и $CD$, то средняя линия будет соединять середину стороны $AB$ с серединой стороны $CD$.

Ответ: Средней линией трапеции является отрезок, соединяющий середины её боковых (непараллельных) сторон.

2. Теорема о средней линии трапеции гласит, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $MN$ — её средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда, согласно теореме:
1. Средняя линия параллельна основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.
2. Длина средней линии равна полусумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:
Проведём прямую через вершину $B$ и середину боковой стороны $CD$ — точку $N$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.
В этих треугольниках:
• $CN = ND$ (по определению точки $N$ как середины $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).
Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует, что $BC = ED$ и $BN = NE$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. В нём отрезок $MN$ соединяет середину стороны $AB$ (точку $M$, по условию) и середину стороны $BE$ (точку $N$, так как $BN=NE$). Таким образом, $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
• $MN \parallel AE$. Так как точка $E$ лежит на прямой $AD$, то $MN \parallel AD$. А поскольку $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть теоремы доказана.
• $MN = \frac{1}{2}AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин $AD$ и $DE$. Мы доказали, что $DE = BC$, поэтому $AE = AD + BC$. Подставив это в формулу для $MN$, получаем: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы также доказана.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.