Номер 9, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В четырехугольнике диагонали равны. Будет ли он равнобедренной трапецией?

Нет, не обязательно. Четырехугольник, у которого диагонали равны, не всегда является равнобедренной трапецией. Равенство диагоналей — это необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы четырехугольник был равнобедренной трапецией.

По определению, равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые стороны) равны. У любой равнобедренной трапеции диагонали действительно равны. Однако обратное утверждение неверно.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Можно построить выпуклый четырехугольник, у которого диагонали равны, но который не является трапецией, так как не имеет параллельных сторон. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в точке $O$. Для того чтобы этот четырехугольник был трапецией с основаниями $AD$ и $BC$, необходимо, чтобы стороны $AD$ и $BC$ были параллельны. Это условие выполняется, если треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны, что в свою очередь требует выполнения пропорции $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB}$. Можно легко выбрать точку пересечения $O$ так, что диагонали $AC$ и $BD$ будут равны, но указанная пропорция (а также пропорция для второй пары сторон) выполняться не будет. Такой четырехугольник будет иметь равные диагонали, но не будет иметь параллельных сторон, и, следовательно, не будет являться равнобедренной трапецией.

Стоит отметить, что существуют четырехугольники с равными диагоналями, которые являются равнобедренными трапециями. Например, прямоугольник. У него диагонали равны, и он является частным случаем равнобедренной трапеции. Однако сам факт равенства диагоналей не гарантирует, что любой такой четырехугольник будет равнобедренной трапецией.

Таким образом, для того чтобы четырехугольник с равными диагоналями был равнобедренной трапецией, необходимо дополнительное условие, например, чтобы у него была одна пара параллельных сторон. Ответ: Нет, не обязательно. Четырехугольник с равными диагоналями будет являться равнобедренной трапецией только в том случае, если он также является трапецией.