Номер 2, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите прямоугольную трапецию с тремя данными вершинами (рис. 9.6).

а)

б)

Рис. 9.6

а)

Введем систему координат, в которой узлы сетки имеют целочисленные координаты. Примем левый нижний угол видимой сетки за начало координат (0, 0). Тогда данные вершины имеют координаты: A(1, 1), B(5, 1), C(3, 4).

Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, образуя два прямых угла. Для построения такой трапеции нам нужно найти четвертую вершину D так, чтобы выполнялись два условия: наличие одной пары параллельных сторон (оснований) и наличие стороны, перпендикулярной этим основаниям.

Проанализируем расположение данных точек. Отрезок AB, соединяющий точки A(1, 1) и B(5, 1), является горизонтальным, так как у обеих точек одинаковая ордината (координата y). Если мы выберем горизонтальные отрезки в качестве оснований трапеции, то второе основание, проходящее через точку C(3, 4), также должно быть горизонтальным. Это значит, что четвертая вершина D должна иметь ту же ординату, что и точка C, то есть $y_D = 4$.

Боковая сторона, перпендикулярная горизонтальным основаниям, должна быть вертикальной. Вертикальный отрезок имеет одинаковую абсциссу (координату x) для обеих своих точек. Если мы построим вертикальную боковую сторону AD, то абсцисса точки D должна быть равна абсциссе точки A, то есть $x_D = 1$.

Объединив эти два условия, получаем координаты четвертой вершины: D(1, 4).

Проверим получившуюся фигуру. Рассмотрим четырехугольник ADCB с вершинами A(1, 1), D(1, 4), C(3, 4) и B(5, 1).
Основание DC соединяет точки D(1, 4) и C(3, 4), оно горизонтально. Основание AB соединяет точки A(1, 1) и B(5, 1), оно также горизонтально. Следовательно, основания DC и AB параллельны ($DC \parallel AB$).
Боковая сторона AD соединяет точки A(1, 1) и D(1, 4), она вертикальна.
Так как боковая сторона AD вертикальна, а основания DC и AB горизонтальны, сторона AD перпендикулярна обоим основаниям. Таким образом, углы $\angle ADC$ и $\angle DAB$ являются прямыми ($90^\circ$).
Фигура ADCB является прямоугольной трапецией.

Ответ: Четвертая вершина D должна быть расположена в точке с координатами (1, 4). Изображение искомой трапеции представлено на рисунке ниже.

б)

Используем ту же систему координат. Координаты данных вершин: A(2, 1), B(4, 3), D(1, 3).

Рассмотрим отрезок DB. Он соединяет точки D(1, 3) и B(4, 3), следовательно, он горизонтален. Примем DB за одно из оснований трапеции. Пусть четвертая вершина — точка C. Тогда второе основание, проходящее через точку A(2, 1), также должно быть горизонтальным. Это значит, что ордината точки C должна быть такой же, как у точки A: $y_C = 1$.

Боковая сторона, перпендикулярная горизонтальным основаниям, должна быть вертикальной. Если мы построим вертикальную боковую сторону BC, то абсцисса точки C должна быть равна абсциссе точки B: $x_C = 4$.

Таким образом, мы нашли координаты четвертой вершины: C(4, 1).

Проверим получившуюся фигуру. Рассмотрим четырехугольник ADBC с вершинами A(2, 1), D(1, 3), B(4, 3) и C(4, 1).
Основание CA соединяет точки C(4, 1) и A(2, 1), оно горизонтально. Основание DB соединяет точки D(1, 3) и B(4, 3), оно также горизонтально. Следовательно, основания CA и DB параллельны ($CA \parallel DB$).
Боковая сторона BC соединяет точки B(4, 3) и C(4, 1), она вертикальна.
Так как боковая сторона BC вертикальна, а основания CA и DB горизонтальны, сторона BC перпендикулярна обоим основаниям. Таким образом, углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$ являются прямыми ($90^\circ$).
Фигура ADBC является прямоугольной трапецией.

Ответ: Четвертая вершина C должна быть расположена в точке с координатами (4, 1). Изображение искомой трапеции представлено на рисунке ниже.