Номер 1, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите равнобедренную трапецию с тремя данными вершинами (рис. 9.5).

а)

б)

Рис. 9.5

а)

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть левый нижний узел сетки соответствует началу координат (0,0). Каждая клетка сетки имеет сторону, равную 1. Координаты заданных вершин: $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ и $D(1, 4)$.

Рассмотрим случай, когда отрезок $AB$ является одним из оснований трапеции. Так как точки $A$ и $B$ имеют одинаковую ординату $y=1$, отрезок $AB$ параллелен оси абсцисс. В трапеции основания параллельны. Следовательно, второе основание, которое должно содержать вершину $D$, также должно быть параллельно оси абсцисс. Пусть четвертая вершина трапеции — точка $C(x_C, y_C)$. Тогда отрезок $DC$ должен быть параллелен $AB$, а значит, ординаты точек $D$ и $C$ должны быть равны: $y_C = y_D = 4$.

Трапеция является равнобедренной, если ее боковые стороны равны. В нашем случае основаниями являются $AB$ и $DC$, а боковыми сторонами — $AD$ и $BC$. Найдем квадраты их длин.

Квадрат длины стороны $AD$: $AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = (1 - 0)^2 + (4 - 1)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (x_C - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (x_C - 4)^2 + 3^2 = (x_C - 4)^2 + 9$.

Приравняем квадраты длин боковых сторон $AD^2 = BC^2$: $10 = (x_C - 4)^2 + 9$ $(x_C - 4)^2 = 1$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x_C$: $x_C - 4 = 1 \implies x_C = 5$ $x_C - 4 = -1 \implies x_C = 3$

Если $x_C = 5$, то точка $C$ имеет координаты $(5, 4)$. Длина основания $DC$ будет равна $|5 - 1| = 4$, что равно длине основания $AB$. В этом случае четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом, а не равнобедренной трапецией (так как он не является прямоугольником).

Если $x_C = 3$, то точка $C$ имеет координаты $(3, 4)$. Длины оснований: $AB = 4$ и $DC = |3 - 1| = 2$. Длины боковых сторон равны $\sqrt{10}$. Это удовлетворяет определению равнобедренной трапеции.

Таким образом, четвертая вершина трапеции — точка $C$ с координатами $(3, 4)$.

Ответ: Четвертая вершина $C$ имеет координаты $(3, 4)$.

б)

Аналогично введем систему координат. Координаты заданных вершин: $A(1, 0)$, $B(4, 3)$ и $C(2, 4)$. Пусть искомая четвертая вершина — точка $D(x_D, y_D)$.

Рассмотрим случай, когда трапеция именуется $ABCD$ в порядке обхода вершин. Тогда ее основаниями могут быть стороны $AB$ и $DC$. Для параллельности оснований их угловые коэффициенты должны быть равны.

Угловой коэффициент основания $AB$: $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 0}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$.

Угловой коэффициент основания $DC$ должен быть также равен 1: $k_{DC} = \frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{4 - y_D}{2 - x_D} = 1$. Отсюда получаем соотношение между координатами точки $D$: $4 - y_D = 2 - x_D \implies y_D = x_D + 2$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковыми сторонами являются $AD$ и $BC$. Их длины должны быть равны. Найдем квадраты их длин.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (2 - 4)^2 + (4 - 3)^2 = (-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Квадрат длины стороны $AD$: $AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = (x_D - 1)^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D - 1)^2 + y_D^2$.

Приравняем квадраты длин боковых сторон $AD^2 = BC^2$: $(x_D - 1)^2 + y_D^2 = 5$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $y_D = x_D + 2$ 2) $(x_D - 1)^2 + y_D^2 = 5$

Подставим выражение для $y_D$ из первого уравнения во второе: $(x_D - 1)^2 + (x_D + 2)^2 = 5$ $(x_D^2 - 2x_D + 1) + (x_D^2 + 4x_D + 4) = 5$ $2x_D^2 + 2x_D + 5 = 5$ $2x_D^2 + 2x_D = 0$ $2x_D(x_D + 1) = 0$

Получаем два возможных решения: $x_D = 0$ или $x_D = -1$.

Если $x_D = 0$, то $y_D = 0 + 2 = 2$. Координаты точки $D$ — $(0, 2)$. Эта точка находится в пределах показанной сетки.

Если $x_D = -1$, то $y_D = -1 + 2 = 1$. Координаты точки $D$ — $(-1, 1)$. Это также является решением, но точка находится за пределами изображенной сетки.

Выбираем решение, которое можно изобразить на данной сетке.

Ответ: Четвертая вершина $D$ имеет координаты $(0, 2)$.