Номер 15, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$ и $BE$. Докажите, что середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, параллельной его основанию.

Дано:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ имеем $AB = BC$. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно, так что длины отрезков $AD$ и $BE$ равны, то есть $AD = BE$.

Доказать:

Середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, которая параллельна основанию $AC$.

Доказательство:

1. Пусть $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $BC$. Отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной основанию $AC$. Нам нужно доказать, что середина отрезка $DE$ лежит на отрезке $KM$.

2. Воспользуемся методом векторов. Выберем вершину $B$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ будет задаваться ее радиус-вектором $\vec{BX}$.

3. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC$, то длины векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равны: $|\vec{BA}| = |\vec{BC}|$. Обозначим эту длину как $L$.

4. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$. Длина отрезка $BD$ равна $AB - AD = L - AD$. Поскольку по условию $AD=BE$, то $BD = L - BE$. Вектор $\vec{BD}$ коллинеарен вектору $\vec{BA}$ и направлен так же, поэтому его можно выразить как:$\vec{BD} = \frac{BD}{AB} \vec{BA} = \frac{L-BE}{L} \vec{BA} = \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA}$.

5. Точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Вектор $\vec{BE}$ коллинеарен вектору $\vec{BC}$ и сонаправлен с ним. Его можно выразить как:$\vec{BE} = \frac{BE}{BC} \vec{BC} = \frac{BE}{L} \vec{BC}$.

6. Пусть $F$ — середина отрезка $DE$. По формуле для радиус-вектора середины отрезка:$\vec{BF} = \frac{1}{2} (\vec{BD} + \vec{BE})$.

7. Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{BD}$ и $\vec{BE}$:$\vec{BF} = \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA} + \frac{BE}{L} \vec{BC} \right)$.

8. Теперь рассмотрим среднюю линию $KM$. Точка $K$ — середина $AB$, значит, $\vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BA}$. Точка $M$ — середина $BC$, значит, $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC}$.

9. Любая точка $P$, лежащая на отрезке $KM$, может быть представлена как линейная комбинация векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BM}$:$\vec{BP} = (1-t) \vec{BK} + t \vec{BM}$ для некоторого скаляра $t \in [0, 1]$.Подставив выражения для $\vec{BK}$ и $\vec{BM}$, получим:$\vec{BP} = (1-t) \frac{1}{2} \vec{BA} + t \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1-t}{2} \vec{BA} + \frac{t}{2} \vec{BC}$.

10. Чтобы доказать, что точка $F$ лежит на отрезке $KM$, мы должны показать, что существует такое значение $t \in [0, 1]$, при котором вектор $\vec{BF}$ равен вектору $\vec{BP}$. Приравняем выражения для этих векторов:$\frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA} + \frac{BE}{L} \vec{BC} \right) = \frac{1-t}{2} \vec{BA} + \frac{t}{2} \vec{BC}$.

11. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны, так как $A, B, C$ являются вершинами треугольника. Следовательно, равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при этих векторах равны:$\begin{cases} \frac{1}{2}\left(1 - \frac{BE}{L}\right) = \frac{1-t}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{BE}{L} = \frac{t}{2} \end{cases}$

12. Из второго уравнения системы легко находим $t = \frac{BE}{L}$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его истинность:$1 - \frac{BE}{L} = 1 - t$, что также дает $t = \frac{BE}{L}$.Система имеет единственное решение $t = \frac{BE}{L}$.

13. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BC$, длина отрезка $BE$ находится в пределах $0 \le BE \le BC = L$. Деля это неравенство на $L$, получаем $0 \le \frac{BE}{L} \le 1$. Таким образом, $0 \le t \le 1$.

14. Мы показали, что для любого допустимого положения точек $D$ и $E$ существует такое значение $t$ в отрезке $[0, 1]$, что точка $F$ (середина $DE$) совпадает с точкой $P$ на средней линии $KM$. Следовательно, середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, параллельной его основанию.

Ответ: Что и требовалось доказать.