Номер 16, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Постройте треугольник, если заданы середины его сторон $D, E, F$ (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Для построения искомого треугольника $ABC$ по известным серединам его сторон $D, E, F$ воспользуемся свойством средней линии. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть точки $D, E, F$ являются серединами сторон $BC, AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Тогда отрезки $DE, EF, FD$ образуют так называемый срединный треугольник. По свойству средней линии:

• $DE \parallel AB$
• $EF \parallel BC$
• $FD \parallel AC$

Из этих параллельностей следует, что четырехугольники $AFDE$, $BFED$ и $CFDE$ являются параллелограммами.

Это дает нам следующий алгоритм построения:

1. Соединяем точки $D, E, F$ отрезками, получая срединный треугольник $DEF$.
2. Через каждую вершину срединного треугольника проводим прямую, параллельную противолежащей стороне этого треугольника.
   • Через точку $D$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$.
   • Через точку $E$ проводим прямую, параллельную отрезку $DF$.
   • Через точку $F$ проводим прямую, параллельную отрезку $DE$.
3. Точки пересечения этих трех прямых образуют вершины искомого треугольника $A, B, C$.

Применим этот алгоритм для каждого случая.

а)

1. Соединяем точки $D, E, F$ отрезками.

2. Строим прямые, параллельные сторонам треугольника $DEF$:

• Чтобы провести прямую через точку $F$, параллельную отрезку $DE$, заметим, что отрезок $DE$ соответствует смещению на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Проводим через $F$ прямую с таким же направлением. Это будет прямая, содержащая сторону $AB$.
• Чтобы провести прямую через точку $E$, параллельную отрезку $DF$, заметим, что отрезок $DF$ соответствует смещению на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Проводим через $E$ прямую с таким же направлением. Это будет прямая, содержащая сторону $AC$.
• Чтобы провести прямую через точку $D$, параллельную отрезку $EF$, заметим, что отрезок $EF$ является горизонтальным и имеет длину 2 клетки. Проводим через $D$ горизонтальную прямую. Это будет прямая, содержащая сторону $BC$.

3. Находим точки пересечения построенных прямых. Это и будут вершины искомого треугольника $ABC$. Вершина $A$ — пересечение прямых, проходящих через $E$ и $F$. Вершина $B$ — пересечение прямых, проходящих через $D$ и $F$. Вершина $C$ — пересечение прямых, проходящих через $D$ и $E$.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

б)

1. Аналогично предыдущему пункту, соединяем точки $D, E, F$ отрезками.

2. Строим параллельные прямые:

• Через точку $F$ проводим прямую, параллельную отрезку $DE$. Отрезок $DE$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх. Проводим через $F$ прямую с таким же наклоном. Это будет сторона $AB$.
• Через точку $E$ проводим прямую, параллельную отрезку $DF$. Отрезок $DF$ соответствует смещению на 1 клетку влево и 3 клетки вниз. Проводим через $E$ прямую с таким же направлением. Это будет сторона $AC$.
• Через точку $D$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$. Отрезок $EF$ соответствует смещению на 3 клетки влево и 1 клетку вниз. Проводим через $D$ прямую с таким же направлением. Это будет сторона $BC$.

3. Точки пересечения построенных прямых являются вершинами искомого треугольника $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.