Номер 10, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол в $60^\circ$. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Найдите периметр полученного четырехугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, где AB и CD — меньшие стороны, а BC и AD — большие стороны. Диагональ AC образует с меньшей стороной AB угол $\angle BAC = 60°$. По условию, длина меньшей стороны $AB = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол $\angle B = 90°$). В этом треугольнике нам известны катет AB и прилежащий к нему острый угол $\angle BAC$. Мы можем найти гипотенузу AC, которая является диагональю прямоугольника, используя определение косинуса:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Выразим отсюда длину диагонали AC:

$AC = \frac{AB}{\cos(\angle BAC)}$

Подставим известные значения. Значение косинуса 60° равно $\frac{1}{2}$.

$AC = \frac{20}{\cos(60°)} = \frac{20}{1/2} = 40$ см.

Пусть точки K, L, M и N являются серединами сторон AB, BC, CD и AD прямоугольника соответственно. Четырехугольник KLMN, полученный последовательным соединением этих точек, является ромбом. Это следует из теоремы Вариньона, согласно которой такой четырехугольник всегда является параллелограммом, а его стороны параллельны диагоналям исходного четырехугольника и равны их половинам. Так как диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$), то все стороны параллелограмма KLMN равны между собой, то есть это ромб.

Длина каждой стороны ромба KLMN равна половине длины диагонали прямоугольника. Например, отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому:

$KL = \frac{1}{2} AC$

$KL = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см.

Поскольку KLMN — ромб, все его стороны равны 20 см.

Периметр полученного четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:

$P_{KLMN} = 4 \cdot KL = 4 \cdot 20 = 80$ см.

Ответ: 80 см.