Номер 5, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5, периметр его равен 60 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Задача решается в два этапа. Сначала найдем стороны исходного треугольника, а затем, используя свойство средней линии треугольника, найдем стороны искомого треугольника.

1. Нахождение сторон исходного треугольника
Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их длины относятся как $3:4:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны треугольника можно выразить как:
$a = 3x$
$b = 4x$
$c = 5x$
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 60 см. Составим и решим уравнение:
$3x + 4x + 5x = 60$
$12x = 60$
$x = \frac{60}{12}$
$x = 5$
Теперь можем найти длины сторон исходного треугольника, подставив значение $x$:
$a = 3 \cdot 5 = 15$ см
$b = 4 \cdot 5 = 20$ см
$c = 5 \cdot 5 = 25$ см
Итак, стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.

2. Нахождение сторон нового треугольника
Новый треугольник образован соединением середин сторон данного треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. По теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Следовательно, стороны нового треугольника (обозначим их $a'$, $b'$, $c'$) будут равны половинам сторон исходного треугольника:
$a' = \frac{a}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ см
$b' = \frac{b}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см
$c' = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см

Ответ: стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равны 7,5 см, 10 см и 12,5 см.