Номер 4, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Периметр треугольника равен 15 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, периметр этого треугольника $P$ равен 15 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

$P = a + b + c = 15$ см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В любом треугольнике можно провести три средние линии. Возьмем любую из них. Например, среднюю линию, которая соединяет середины сторон $a$ и $b$.

Эта средняя линия отсекает от исходного треугольника новый, меньший треугольник. Найдем длины сторон этого отсеченного треугольника.

Две стороны отсеченного треугольника являются половинами сторон $a$ и $b$ исходного треугольника, так как они идут от вершины до середины стороны. Их длины равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$.

Третья сторона отсеченного треугольника — это сама средняя линия. Согласно теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне исходного треугольника (в нашем случае, стороне $c$) и равна ее половине. Таким образом, длина средней линии равна $\frac{c}{2}$.

Теперь мы можем найти периметр $P_{отс}$ отсеченного треугольника, сложив длины всех его сторон:

$P_{отс} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{отс} = \frac{1}{2}(a + b + c)$

Мы знаем, что сумма $a + b + c$ — это периметр исходного треугольника, который равен 15 см. Подставим это значение в нашу формулу:

$P_{отс} = \frac{1}{2} \times 15 = 7,5$ см.

Таким образом, периметр треугольника, отсекаемого средней линией, всегда равен половине периметра исходного треугольника.

Ответ: 7,5 см.