Номер 20, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковые клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз — по 10 кустов на каждой клумбе — с таким расчетом, чтобы фонтан был равноудален от всех клумб?

Это классическая логическая задача, в которой на первый взгляд кажется, что условия противоречат друг другу. Если на каждой из 4 клумб должно быть по 10 кустов, то всего потребуется $4 \times 10 = 40$ кустов роз. Однако в наличии имеется только 36 кустов. Разница в $40 - 36 = 4$ куста говорит о том, что некоторые кусты должны принадлежать нескольким клумбам одновременно, то есть клумбы должны пересекаться.

Для того чтобы фонтан был равноудален от всех клумб, их следует расположить симметрично вокруг него. Наиболее подходящая для этого симметричная схема, удовлетворяющая всем условиям, выглядит следующим образом:

1. Общее расположение кустов. Все 36 кустов роз высаживаются в виде большого креста. Этот крест состоит из центрального квадрата размером $2 \times 2$ куста и четырех примыкающих к нему прямоугольных "рукавов" размером $2 \times 4$ куста каждый.
Проверим общее количество кустов в такой фигуре:
Центральная часть: $2 \times 2 = 4$ куста.
Четыре "рукава": $4 \times (2 \times 4) = 4 \times 8 = 32$ куста.
Итого: $4 + 32 = 36$ кустов. Это соответствует условию задачи.

2. Формирование клумб. Теперь определим четыре одинаковые клумбы по 10 кустов в каждой:

• Первая клумба состоит из верхнего "рукава" (8 кустов) и верхней половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $2 \times 5$.
• Вторая клумба состоит из правого "рукава" (8 кустов) и правой половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $5 \times 2$.
• Третья клумба состоит из нижнего "рукава" (8 кустов) и нижней половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $2 \times 5$.
• Четвертая клумба состоит из левого "рукава" (8 кустов) и левой половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $5 \times 2$.

Таким образом, каждая из четырех клумб представляет собой прямоугольник из 10 кустов. Хотя две из них имеют размер $2 \times 5$, а две другие — $5 \times 2$, геометрически эти фигуры являются одинаковыми (конгруэнтными), так как одну можно получить из другой поворотом на 90 градусов. Все клумбы расположены симметрично относительно центрального фонтана, который находится в центре всей композиции.

Ответ: Следует высадить 36 кустов роз в виде симметричного креста, состоящего из центрального квадрата $2 \times 2$ куста и четырех прямоугольных "лучей" $2 \times 4$ куста, примыкающих к его сторонам. Четыре одинаковые клумбы по 10 кустов формируются следующим образом: каждая клумба включает один из "лучей" (8 кустов) и прилегающую к нему половину центрального квадрата (2 куста).