Номер 15, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Постройте квадрат по:

а) стороне;

б) диагонали.

а) стороне

Пусть дан отрезок $a$, равный стороне искомого квадрата.

1. На произвольной прямой $m$ отметим точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $m$ от точки $A$ отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$. Этот отрезок будет первой стороной квадрата.
3. Построим прямую $n$, перпендикулярную прямой $m$ и проходящую через точку $A$. Для этого построим окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую $m$ в двух точках. Затем из этих двух точек построим две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $m$.
4. На прямой $n$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный отрезку $a$.
5. Теперь у нас есть три вершины квадрата: $A$, $B$ и $D$. Четвертая вершина $C$ должна находиться на расстоянии $a$ от вершин $B$ и $D$.
6. Построим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.
7. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом $a$.
8. Точка пересечения этих двух дуг и будет искомой вершиной $C$.
9. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как все его стороны равны $a$ и угол $\angle DAB = 90^\circ$ по построению.

Ответ: Квадрат построен.

б) диагонали

Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали искомого квадрата. Свойства диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

1. Построим отрезок $AC$, равный данному отрезку $d$. Это будет первая диагональ квадрата.
2. Найдем середину отрезка $AC$ — точку $O$. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Из точек $A$ и $C$ проведем две пары дуг одинакового радиуса (большего, чем половина $AC$) с каждой стороны отрезка. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром. Точка $O$ — это точка пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$.
3. Через точку $O$ проходит вторая диагональ $BD$, которая перпендикулярна $AC$. Построенный серединный перпендикуляр является прямой, на которой лежит диагональ $BD$.
4. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $OB = OD = OA = OC = d/2$.
5. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$ (или $OC$).
6. Построим окружность (или две дуги) с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$.
7. Точки пересечения этой окружности с серединным перпендикуляром будут двумя другими вершинами квадрата — $B$ и $D$.
8. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как ее диагонали $AC$ и $BD$ равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Квадрат построен.