Номер 12, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Дано:

ABCD — ромб.

Из определения ромба следует, что все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

По условию задачи, диагонали ромба равны: $AC = BD$.

Доказать:

ABCD — квадрат.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AD$ — общая.

2. Стороны $AB$ и $DC$ равны, так как все стороны ромба равны ($AB = DC$).

3. Диагонали $BD$ и $AC$ равны по условию ($BD = AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle DAB$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle ADC$ треугольника $\triangle DCA$. То есть, $\angle DAB = \angle ADC$.

Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AD$ это означает:

$\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$

Так как мы доказали, что $\angle DAB = \angle ADC$, мы можем заменить $\angle ADC$ на $\angle DAB$ в этом равенстве:

$\angle DAB + \angle DAB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$

$\angle DAB = 90^\circ$

Мы получили, что один из углов ромба является прямым. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой, является квадратом (так как в параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$, следовательно, все углы будут прямыми).

Таким образом, ромб ABCD имеет равные стороны и все углы по $90^\circ$, что соответствует определению квадрата.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.