Номер 11, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как $4 : 5$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он образован стороной ромба $AB$ и половинами его диагоналей $AO$ и $BO$. Углы, о которых идет речь в условии, — это углы, которые диагонали образуют со стороной $AB$, то есть $\angle OAB$ и $\angle OBA$.

Согласно свойствам ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

По условию задачи, углы, образуемые диагоналями со стороной, относятся как 4:5. Пусть $\angle OAB = 4x$ и $\angle OBA = 5x$, где $x$ — некоторая градусная мера (коэффициент пропорциональности).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AOB$ это означает:

$\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$

Подставим наши выражения для углов в это уравнение:

$4x + 5x = 90^\circ$

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Теперь мы можем найти величины этих углов:

$\angle OAB = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$

$\angle OBA = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Другое важное свойство ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это значит, что они делят углы ромба пополам.

Угол $A$ ромба ($\angle DAB$) в два раза больше угла $\angle OAB$:

$\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

Угол $B$ ромба ($\angle ABC$) в два раза больше угла $\angle OBA$:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = 80^\circ$ и $\angle CDA = \angle ABC = 100^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $80^\circ$, $100^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$.