Номер 5, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите какой-нибудь квадрат $ABCD$, диагональ $AC$ которого показана на рисунке 7.6.

а)

б)

Рис. 7.6

а)

Для построения квадрата $ABCD$ по его диагонали $AC$ используем ключевые свойства диагоналей квадрата: они равны по длине, перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам.

1. Найдём середину диагонали $AC$. На рисунке отрезок $AC$ расположен горизонтально, и его длина составляет 4 клетки. Его середина, точка $O$, находится на расстоянии 2 клеток от $A$ и от $C$.

2. Вторая диагональ $BD$ должна проходить через точку $O$ и быть перпендикулярной $AC$. Поскольку $AC$ — горизонтальный отрезок, $BD$ будет вертикальным.

3. Длина диагонали $BD$ должна быть равна длине $AC$, то есть 4 клетки. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, то отрезки $OB$ и $OD$ равны по 2 клетки каждый.

4. Отложим от точки $O$ 2 клетки вверх, чтобы найти точку $B$, и 2 клетки вниз, чтобы найти точку $D$.

5. Соединим последовательно вершины $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура является искомым квадратом.

Ответ: Построение квадрата показано на рисунке. Вершины $B$ и $D$ расположены на перпендикуляре к середине диагонали $AC$ на расстоянии, равном половине длины $AC$.

б)

Как и в предыдущем случае, воспользуемся свойствами диагоналей квадрата (равенство, перпендикулярность, деление пополам в точке пересечения).

1. Найдём середину $O$ диагонали $AC$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сдвинуться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Следовательно, середина $O$ диагонали находится на полпути от $A$ к $C$: на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх от точки $A$. Координаты этой точки (1+2, 2+1) = (3,3) в системе координат, где левый нижний узел - (0,0).

2. Вторая диагональ $BD$ должна проходить через точку $O$, быть равной по длине и перпендикулярной $AC$. Чтобы построить на сетке отрезок, перпендикулярный данному, можно использовать следующее правило: если вектор от середины $O$ к вершине $C$ соответствует смещению на "2 вправо, 1 вверх", то перпендикулярный ему вектор такой же длины будет соответствовать смещению на "1 влево, 2 вверх" или "1 вправо, 2 вниз".

3. Найдём вершины $B$ и $D$. От точки $O$ отложим вектор "1 клетка влево, 2 клетки вверх", чтобы найти точку $B$. Затем от точки $O$ отложим противоположный вектор "1 клетка вправо, 2 клетки вниз", чтобы найти точку $D$.

4. Соединим последовательно вершины $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Ответ: Построение квадрата показано на рисунке. Вторая диагональ $BD$ построена так, чтобы она была равна и перпендикулярна диагонали $AC$ и имела с ней общую середину.